Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых

Пусть имеем прямую и плоскость, заданные уравнениями:

,
.

Так как вектор параллелен прямой, а вектор перпендикулярен плоскости, то прямая и плоскость будут параллельны, если эти векторы перпендикулярны: ,

.

Если при этом координаты точки , принадлежащей прямой, удовлетворяют уравнению плоскости , то прямая лежит в плоскости.

Прямая и плоскость перпендикулярны, если векторы и параллельны:

.

Можно получить условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая задана пересечением двух плоскостей, т.е. системой:

.

Векторы и перпендикулярны соответствующим плоскостям, а вектор параллелен линии их пересечения. Имеем: ,

следовательно, , , . Теперь достаточно воспользоваться условиями (1) и (2).

Пусть две прямые заданы уравнениями в канонической форме:

Поскольку вектор параллелен первой прямой, а вектор - второй прямой, то прямые параллельны, если , т.е. . В частности, прямые совпадают, если при этом координаты точки одной прямой, например, удовлетворяют уравнениям другой прямой:

.

Прямые перпендикулярны, если векторы и перпендикулярны: , .

Если две прямые заданы уравнениями (3), то легко найти угол между ними вне зависимости от того, пересекаются они, либо скрещиваются. Достаточно найти угол между векторами и , параллельными прямым. Для одного из двух углов между прямыми получаем:

.

Упражнение 42. Найти расстояние между двумя прямыми, заданными уравнениями (3) в канонической форме.

Упражнение 43. Найти уравнение конической поверхности с вершиной , образующие которой пересекают плоскость под углом .

Упражнение 44. Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке , если она проходит через окружность, задаваемую пересечением сферы с плоскостью . Что представляет собой пересечение этой конической поверхности с плоскостью ?