Пусть σ – некоторая ориентированная поверхность в области G. Выберем определённую её сторону, задав единичный вектор нормали к поверхности .
Определение. Потоком вектора через поверхность σ называется поверхностный интеграл от скалярного произведения вектора поля на нормальный единичный вектор к поверхности: . (14.4)
Имеют место другие формы записи потока вектора. Например, учитывая, что , получим: . Или можно определить вектор , направленный по нормали к поверхности, такой, что: , . Тогда: .
Если поверхностьσзамкнута, то обычно за направление вектора берут направление внешней нормали к поверхности и обозначают
. (14.5)
Если изменить ориентацию (взять другую сторону поверхности), то скалярное произведение и, соответственно, поток меняют знак.
Поток можно записать в координатной форме, вычислив скалярное произведение векторов и :
. (14.6)
Или (см. занятие 13), (14.7)
где в правой части имеем поверхностный интеграл второго рода.
Пример 14.2. Вычислим поток векторного поля через часть плоскости , заключённую в первом октанте, в сторону нормали, составляющей тупой угол с осью OY.
|
|
Решение. Вычислим поток по формуле (14.4): , где σ – плоскость с уравнением . (см. рис.14.3)
Рисунок 9 |
Рисунок 14.3 |
Сведём задачу к вычислению интеграла I рода (см. занятие 13). Для этого вычислим скалярное произведение и подставим его в формулу.
, .
Но , т.е. . Из векторной алгебры известно, что площадь треугольника MNP равна половине модуля векторного произведения двух векторов, на которых построен треугольник (см. рис. 14.3), т.е. .
Ответ: .
Замечание. Можно было бы вычислить поток с помощью поверхностного интеграла 2-ого рода (см. (14.6) и (14.7)). Тогда каждое из слагаемых в формуле (14.7) преобразуется в двойной интеграл по области D, являющейся проекцией поверхности σ на соответствующую координатную плоскость(см.занятие13):