Вычисление поверхностного интеграла 2-ого рода

а)Первый способ. Вычисление поверхностного интеграла (13.1) сводится к вычислению двойных интегралов по тем областям, которые получаются при проецировании поверхности на координатные плоскости.

Пусть функция непрерывна во всех точках гладкой поверхности которая однозначно проецируется на координатную плоскость в область и её уравнение можно представить в виде . Ориентируем поверхность так, что нормальный к ней вектор составляет острый угол с осью . Интегральная сумма, приводящаяся к поверхностному интегралу, в этом случае будет выглядеть следующим образом: .

В пределе при соответствующих условиях получим преобразование поверхностного интеграла 2-ого рода по переменным и в двойной:

Если выбрать другую ориентацию поверхности, тогда вектор нормали будет составлять с осью тупой угол и перед двойным интегралом появится знак «минус».

Аналогично для непрерывных функций и

, где - уравнение поверхности и нормальный вектор составляет с осью острый угол , и , где - уравнение поверхности и нормальный вектор составляет с осью острый угол .

В общем случае поверхностный интеграл 2-ого рода по гладкой ограниченной поверхности, которая однозначно проецируется в каждую из координатных плоскостей, сводится к трём двойным интегралам, знаки перед которыми выбираются соответственно тому, какие углы составляет выбранный нормальный вектор с осями координат.

.(13.2)

Пример 13.1. Вычислим интеграл , где - часть поверхности ограниченная так, что , если вектор нормали к поверхности составляет острый угол с положительным направлением оси OX.

Решение. Построим часть цилиндра параболического, ограниченную заданными плоскостями (см. рис. 13.3)

Рисунок 13.3

По рисунку видим, что вектор

составляет с осью OX острый угол, с OY - прямой, с OZ – тупой, следовательно,

Рисунок 18.3

. Следовательно, часть интеграла по переменным

должна быть взята со знаком «плюс», часть по

обратиться в ноль, а часть по

следует

взять со знаком «минус».

Вычислим . Для этого построим проекцию области на плоскость . Уравнение проекция линии пересечения и на плоскость YOZ: .

Из уравнения поверхности выразим переменную и, подставив в подынтегральное выражение, вычислим интеграл.

Вычислим . Для этого построим проекцию области на плоскость . Переменную из уравнения поверхности подставим в подынтегральное выражение и вычислим интеграл.

. Ответ: .

б)Второй способ вычисления поверхностного интеграла 2-ого рода.

Заметим, что если - площадь элементарной части поверхности и нормальный вектор к этой площадке составляет с осями координат углы , то . И тогда

. (13.3)

То есть поверхностный интеграл 2-ого рода сводится к поверхностному интегралу 1-ого рода. (см. занятие 12)

Отметим, что если уравнение поверхности имеет вид , то единичный нормальный вектор к ней в точке имеет координаты, совпадающие с его направляющими косинусами

, , . (13.4)

Подставив эти выражения в подынтегральное выражение и упростив его, получим интеграл вида .

Таким образом поверхностный интеграл 2-ого рода сведём к поверхностному интегралу 1-ого рода. (см. занятие 12).

Пример 13.2. Вычислим интеграл в условиях примера 13.1, преобразовав его в поверхностный интеграл 1-ого рода (см. (13.3) и (13.4)). Для этого найдём направляющие косинусы единичного нормального вектора к поверхности.

В рассматриваемом примере уравнение поверхности имеет вид и тогда с учётом того, что нормальный вектор составляет острый угол с осью OX. Преобразуем данный интеграл в поверхностный 1-ого рода.

Для вычисления получившегося поверхностного интеграла I рода спроецируем σ на плоскость XOY (см. рис. 13.3) и преобразуем интеграл в двойной (см. (12.1):

Из уравнения поверхности следует, что: , и .

Подставим всё в подынтегральное выражение, расставим пределы интегрирования в повторном интеграле и вычислим его.

Получаем .

Ответ: .

Занятие 14.

Векторное поле (определение). Векторные линии поля и их дифференциальные уравнения. Определение потока векторного поля через поверхность и дивергенция векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для односвязной области. Физический смысл дивергенции. Стоки и источники поля. Соленоидальное векторное поле и его свойства.

ОЛ-1 гл.6,7, ОЛ-2 гл.3, ОЛ-4 § 12, п. 12-3.

Практика: ОЛ-6 №№ 2374, 2361, 2365, 2367 или ОЛ-5 №№ 10.95, 102, 103, 105, 108, 145.

Домашнее задание к занятию 14: ОЛ-6 №№ 2362, 2364, 2366, 2368 или ОЛ-5 №№ 10.96, 99, 104, 144, 146.

Векторное поле.

Определение. Если каждой точке некоторой области поставлен в соответствие по некоторому правилу (закону) вектор , то множество этих векторов называется векторным полем.

Задание векторного поля адекватно заданию вектор -функции с областью определения G. Если G - область трёхмерного пространства с введённой в ней декартовой системой координат с ортами , направленными по осям, то задание векторного поля равносильно заданию трёх скалярных функций-координат, каждая из которых зависит от трёх переменных: .

Если G - область на плоскости , то в декартовых координатах скалярное поле задаётся функцией двух переменных , а векторное поле – двумя функциями двух переменных . В этом случае поле называется плоским.

Физические примеры векторных полей: электрическое поле системы электрических зарядов, характеризующееся в каждой точке вектором напряжённости электрического поля ; магнитное поле, создаваемое электрическим током и характеризующееся в каждой точке вектором магнитной индукции ; поле скоростей потока движущейся жидкости, описываемое в каждой точке вектором скорости .