2014-01-27
1753
Действительно, вычеркивая из ступенчатой матрицы соответствующие столбцы, получим треугольную матрицу с ненулевыми диагональными элементами, порядок которой равен числу ее строк, а определитель равен произведению диагональных элементов и не равен нулю.
Например, для первой матрицы, вычеркнув третий и пятый столбцы, получим минор третьего порядка:
,
значит, ее ранг равен 3.
Рассмотрим преобразования строк матрицы, с помощью которых любую матрицу можно привести к ступенчатому виду.
Для вычисления ранга матрицы используют элементарные преобразования:
1. отбрасывание нулевой строки;
2. умножениевсех элементов строки на ненулевое число;
3. перестановка строк;
4. прибавление к каждому элементу одной строки соответствующих
элементов другой строки, умноженных на некоторое число.
В результате выполнения элементарных преобразований любая матрица преобразуется в ступенчатую матрицу, ранг которой равен числу ее строк. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. Значит, ранг исходной матрицы равен рангу полученной из нее ступенчатой матрицы.
|
|
|
Пример 3. Найти ранг матрицы
.
Решение. Выполним элементарные преобразования строк матрицы. Для этого умножим первую строку матрицы на (−2) и прибавим ко второй строке. Затем умножим первую строку матрицы на (−3) и прибавим к третьей строке. Вторую строку новой матрицы умножим на (−2) и прибавим к третьей строке.
~ 
~ 
.
Последняя матрица имеет ступенчатый вид. Так как число ступенек равно 3, то ранг матрицы 
.
