Теоремы подобия, смещения, запаздывания

Теорема подобия. Дополнительное умножение аргумента t в оригинале на число а R, a > 0 приводит в изображении к уменьшению в а раз параметра p и самого изображения,

f (аt) =: F (). (2)

Доказательство.

f (аt) =: = = =

= = = F ()

Пр.6 sin at =: = ; cos at =: =

Теорема смещения. Переход в изображении от p к (p + z), где z комплексное число, причем Re (p + z) > s ₀, приводит к дополнительному умножению оригинала на экспоненту e^-zt

F (p + z) =: e^-zt f (t) (3)

Доказательство.

e^-zt f (t) =: = = F (p + z)

Пр.7 e^zt sin at =: ; e^zt cos at =:

Теорема запаздывания. Уменьшение параметра t в оригинале на величину > 0 приводит к дополнительному умножению изображения на экспоненту

f (t -) ( t- ) =: F (p) (4)

Доказательство.

f (t -) =: = +

+

Первый интеграл равен 0, т.к. ( t- ) = 0 при t < .

f (t -) =: = =

= = F (p)

Пр.8 (t - ) =: и (t – a)(t - а) =: с учетом Пр. 5.