Степенная функция, ее свойства и график

Преобразование графиков функции

Содержание:

1. Степенная функция, ее свойства и график;

2. Преобразования:

- Параллельный перенос;

- Симметрия относительно осей координат;

- Симметрия относительно начала координат;

- Симметрия относительно прямой y = x;

- Растяжение и сжатие вдоль осей координат.

3. Показательная функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования;

4. Логарифмическая функция, ее свойства и график;

5. Тригонометрическая функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Функция: y = x\n – ее свойства и график.

Степенная функция, ее свойства и график

y = x, y = x², y = x³, y = 1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y = x^p, где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень x^p. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.

1. Показатель p = 2n - четное натуральное число.

В этом случае степенная функция y = x²ⁿ, где n - натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
• множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
• функция y = x²ⁿ четная, так как x²ⁿ = (-x)²ⁿ
• функция является убывающей на промежутке x < 0 и возрастающей на промежутке x > 0.

График функции y = x²ⁿ имеет такой же вид, как например график функции y = x⁴.

2. Показатель p = 2n - 1 - нечетное натуральное число

В этом случае степенная функция y = x^2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R;
• множество значений - множество R;
• функция y = x^2n-1 нечетная, так как (- x)^2n-1  = x^2n-1;
• функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y = x^2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y = x³.

3. Показатель p = -2n, где n - натуральное число.

В этом случае степенная функция y = x^-2n = 1/x²ⁿ обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, кроме x = 0;
• множество значений - положительные числа y>0;
• функция y = 1/x²ⁿ четная, так как 1/(-x)²ⁿ  = 1/x²ⁿ;
• функция является возрастающей на промежутке x0.

График функции y = 1/x²ⁿ имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x².

4. Показатель p = -(2n-1), где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y = x^-(2n-1) обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, кроме x = 0;
• множество значений - множество R, кроме y = 0;
• функция y = x^-(2n-1) нечетная, так как (- x)^-(2n-1) = - x^-(2n-1);
• функция является убывающей на промежутках x < 0 и x > 0.

График функции y = x^-(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x³.