Собственные значения и собственные векторы матрицы

Определение: Ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

A.

Число l называется собственным значением матрицы А, соответствующим вектору .

Определение: Матрица  называется характеристической матрицей матрицы , многочлен  называется характеристическим многочленом матрицы , уравнение  называется характеристическим уравнением матрицы .

Пример. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

.

Решение. Составляем характеристическую матрицу :

Находим характеристический многочлен:

Решим характеристическое уравнение:

Подбором находим, что один корень уравнения равен -1. По теореме Безу, которая говорит, что если число является корнем многочлена , то многочлен делится на разность , то есть , где - многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен должен делиться на . Выделим в характеристическом многочлене этот множитель :

Находим корни трехчлена . Они равны -1 и 3. Таким образом,

- корень кратности 2, - корень. Итак, собственные числа матрицы равны , .

Найдем соответствующие им собственные векторы.

Пусть , тогда для собственного вектора получаем матричное уравнение:

что соответствует системе уравнений:

Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу системы:

Первую строку, умноженную на числа -2 и -3, прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам:

Меняем местами вторую и третью строки:

Возвращаемся к системе уравнений:

Переменные и оставляем в левой части, а переменную переносим в правую часть:

Полагаем , находим , при .

Итак, собственному числу соответствует собственный вектор .

Пусть , тогда для собственного вектора получаем матричное уравнение:

что соответствует системе уравнений:

Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу:

Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам:

Вторую строку умножаем на -1 и прибавляем к третьей:

Возвращаемся к системе уравнений:

Переменные и оставляем в левой части, а переменную переносим в правую часть:

Полагаем , находим , .

Итак, собственному числу соответствует собственный вектор .

Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу соответствует собственный вектор .

Ответ: Собственные числа: , , соответствующие собственные векторы: , .