Актуарные расчеты по страхованию жизни

ГЛАВА 2

АКТУАРНЫЕ РАСЧЕТЫ

Актуарные расчеты – система математических и статистических методов, применяемых в страховании при расчетах страховых тарифов и страховых резервов.

Страховой тариф (брутто - ставка) - ставка страхового взноса с единицы страховой суммы или объекта страхования с учетом характера страхового риска. Страховой тариф состоит из нетто-ставки и нагрузки.

Нетто-ставка страхового тарифа - часть страхового тарифа, предназначенная для обеспечения текущих страховых выплат по договорам страхования.

Нагрузка - часть страхового тарифа, предназначенная для покрытия затрат страховщика на проведение страхования (РВД). Существуют некоторые особенности определения нагрузки в страховании жизни. В данном случае роль нагрузки в страховом тарифе минимальна и ограничивается только расходами на ведение дела (РВД), как правило, вознаграждением страховому агенту. Что касается рисковых видов страхования, нагрузка кроме расходов на ведение дела может включать резерв (фонд) предупредительных мероприятий, а также, по ОСАГО, резерв гарантий (РГ), резерв компенсационных выплат (РКВ). В составе нагрузки может быть предусмотрена прибыль от проведения страховых операций. Доходность страховых операций по иным видам, чем страхование жизни закладывается при расчете страхового тарифа.

Актуарные расчеты по страхованию жизни

Актуарные расчеты по страхованию жизни проводятся с использованием демографической статистики. Количественные показатели, характеризующие продолжительность жизни и смертность  населения страны, централизованно собираются и обрабатываются в федеральных и региональных органах демографической статистики. На основании полученных данных составляются таблицы смертности, или,как их называют, таблицы дожития. Договоры страхования жизни заключаются на длительный срок. По российскому законодательству они не могут быть заключены менее чем на 5 лет (в противном случае страховые выплаты по страхованию жизни подлежат налогообложению). В течение этого срока за счет инфляции и прибыли, получаемой от инвестирования временно свободных средств, стоимость страховых резервов изменяется. Чтобы учесть подобные изменения при построении тарифных ставок, используются долгосрочные финансовые вычисления, в частности дисконтирование. Поэтому для расчета страховой премии нам необходимо знать пол и возраст застрахованного, а также срок действия договора страхования и ожидаемую норму доходности (прил. 1).

Договоры по страхованию жизни делятся на две группы:

1) страхование на дожитие;

2) страхование ренты.

Страхование на дожитие предполагает получение единовременно всей страховой суммы при окончании договора страхования. Страхование ренты, в свою очередь, предполагает получение регулярного дохода в течение установленного договором срока.

Рассмотрим актуарные расчеты на дожитие.

Страхование на дожитие предполагает три исхода: дожитие до срока определенного договором страхования, дожитие до смерти и смешанное страхование жизни.

Тарифные ставки бывают единовременные и годичные.

Расчет единовременной нетто-ставки на дожитие (nEx):

 

, (2.1.1)

где nEx – единовременная нетто-ставка на дожитие;

x – возраст застрахованного;

n – срок договора страхования;

lx – число доживающих до возраста, в котором заключается     договор;

lx+n- число доживающих до окончания договора страхования;

V – дисконтирующий множитель;

S – страховая сумма.

 

Расчет единовременной нетто-ставки на случай смерти на определенный период (nAx):

, (2.1.2)

 

где nAx – единовременная нетто-ставка на случай смерти;

x – возраст застрахованного;

n – срок договора страхования;

ndx - число умирающих при переходе к следующему возрасту;

lx – число доживающих до возраста, в котором заключают договор страхования;

V1,2…n - дисконтирующий множитель;

S– страховая сумма.

Теперь перейдем к расчету единовременной нетто-премии по страхованию ренты.

Рентой (или аннуитетом) в общем случае называют последовательные периодические выплаты. Поэтому страхование ренты позволяет страхователю получать регулярный доход. Страховые ренты бывают:

- пожизненная страховая рента, которая позволяет страхователю получать регулярный доход в течение всей предстоящей жизни;

- временная страховая рента, которая позволяет получать доход в течение установленного договором срока;

- доход начинает выплачиваться в начале страхового года;

- доход выплачивается в конце страхового года.

Кроме этого, рента бывает срочная, когда доход начинает выплачиваться с первого года после уплаты всех страховых взносов и рента отсроченная, когда есть период накопления (выжидательный период).

Для вывода соответствующих формул страховой ренты применим следующий ход рассуждений. Допустим, что страховщик обязался выплачивать застрахованному лицу в возрасте  лет в течение всей его жизни ежегодно определенную денежную сумму (R), эта выплата будет производиться с первого же года страхования, в начале каждого года. Это пожизненная рента, пренумерандо, срочная.

, (2.1.3)

где - пожизненная рента, пренумерандо;

x – возраст застрахованного;

lx – число доживающих до возраста, в котором заключают договор страхования;

V1,2…n - дисконтирующий множитель.

Если рента выплачивается не пожизненно, а в течение определенного договором страхования периода, то формула приобретает вид

, (2.1.4)

где - временная рента, пренумерандо;

x – возраст застрахованного;

lx – число доживающих до возраста в котором заключают договор  страхования;

V1,2…n - дисконтирующий множитель;

n – срок договора страхования.

Если же доход будет выплачиваться в конце страхового года, то формулы пожизненной и временной ренты примут следующий вид:

 

, (2.1.5)

где - пожизненная рента, постнумерандо;

x – возраст застрахованного;

lx – число доживающих до возраста в котором заключают договор страхования;

V1,2…n - дисконтирующий множитель.

 

, (2.1.6)

где - временная рента, постнумерандо;

x – возраст застрахованного;

lx – число доживающих до возраста в котором заключают договор  страхования;

V1,2…n – дисконтирующий множитель;

n – срок договора страхования.

 

Для упрощения актуарных расчетов применяются специальные технические показатели – коммутационные числа:

,      (2.1.7)

,       (2.1.8)

,     (2.1.9)

.        (2.1.10)

 

Переведем выше выведенные формулы в коммутационные числа. Умножим правую часть формулы на частное , так как это равно единице, абсолютная величина останется той же:

,         (2.1.11)

,                 (2.1.12)

,                  (2.1.13)

,                         (2.1.14)

,    (2.1.15)

,       (2.1.16)

.         (2.1.17)

Это мы вывели формулы для расчета единовременных нетто-премий. А теперь рассчитаем годичные ставки. Как показывает практика, страховые премии по накопительному страхованию жизни, как правило, уплачиваются в рассрочку. Очевидно, что общая сумма годичных взносов должна быть эквивалентна единовременному взносу. Однако, она не равна ему арифметически в связи с двумя обстоятельствами. Во-первых, в течение срока страхования нарастает доход в виде процентов, во-вторых, не все страхователи рассчитаются со страховщиком вследствие его смерти. Поэтому при расчете годичных взносов необходимо применять коэффициент рассрочки.

    Нам известен единовременный взнос, который мы должны распределить равными частями с учетом вышеуказанных двух обстоятельств. Для целей определения коэффициента рассрочки подойдет формула ренты временной пренумерандо, так как в ней заложен дисконтирующий множитель и учитывается уменьшающееся количество застрахованных.

           (2.1.18)

 

 

Тогда годовая нетто-премия будет определяться по формуле

 

. (2.1.19)

 

 

Теперь определим размер брутто-премии:

 

,            (2.1.20)

где Пбр – брутто-премия;

Пн – нетто-премия;

F – уровень нагрузки в относительном выражении.