Программа курса высшей математики

Математический анализ.

Часть 2

Электронное учебно-методическое пособие

 

 

Издатель:

          Кемеровский государственный университет

           650043, г. Кемерово, ул. Красная, 6.

 

© Геллерт В. А., Вайнгауз А. М., 2010

© ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет», 2010 г.

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Кафедра высшей математики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
ЧАСТЬ 2

Электронное учебно-методическое пособие

 

КЕМЕРОВО 2010

Составители: старший преподаватель В. А. Геллерт,
доцент А. М. Вайнгауз

Математический анализ. Часть 2. Электронное учебно-методическое пособие /ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»; Сост.: В. А. Геллерт, А. М. Вайнгауз. Кемерово, 2010, 77 с.

Геллерт, Вероника Александровна.

Математический анализ. Часть2: электронное учебно-методическое пособие [Электронный ресурс] / В. А. Геллерт, А.М. Вайнгауз – Электрон. данные (26,3 Мб). – Кемерово, Изд-во: ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет», 2010. – 77 с. – 1 электрон. опт. диск (CD ROM). – Систем. требования: Pentium-100 и выше; 20 Мб RAM; Windows 2000, Office – Загл. с экрана. – Диск помещен в контейнер 14,5х12,5 см. № гос. регистрации

Учебно-методическое пособие разработано по курсу «Математика», раздел «Математический анализ» для студентов 1 курса химического факультета по специальности и направлению «Химия». Содержит программу курса, краткий теоретический материал, необходимый для решения задач; разобранные примеры по каждой теме и задачи для решения в аудитории и дома; варианты индивидуальных семестровых заданий.

Рекомендовано методической комиссией математического факультета «_12__»__04__________2010г. Председатель методкомиссии   ____________В.А. Шалаумов

Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры высшей математики «__5_»__03___________2010г. Заведующий кафедрой   _____________С.П. Брабандер

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 5

ПРОГРАММА КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ.. 6

Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. 10

Задачи: 13

Замена переменной в неопределенном интеграле. 14

Задачи: 17

Интегрирование по частям.. 18

Задачи: 20

Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен. 21

Задачи: 23

Метод неопределенных коэффициентов. 24

Задачи: 28

Интегрирование некоторых иррациональных функций. 29

Задачи: 33

Интегралы от тригонометрических функций. 34

Задачи: 37

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. 38

Задачи: 39

Замена переменной в определенном интеграле. 40

Задачи: 42

Интегрирование по частям.. 43

Задачи: 44

Приложения определенного интеграла. 45

Задачи: 54

Несобственные интегралы.. 56

Задачи: 57

Индивидуальные семестровые задания. 58

ЛИТЕРАТУРА.. 77

ВВЕДЕНИЕ

Учебно-методическое пособие по курсу «Математический анализ. Часть 2» разработано в соответствии с типовой учебной программой и преследует собой цель – устранить недостаточность и разрозненность задачников по данному курсу.

В пособии представлена программа по курсу математического анализа, список литературы, как использованный при разработке данного пособия, так и необходимой для изучения курса.

Так же изложен краткий теоретический материал и разобраны примеры решения задач по следующим разделам математического анализа: «Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл»; «Приложения определенного интеграла».

Изложение теоретического материала даёт больше времени на практических занятиях для более подробного решения задач по указанным темам, но не исключает посещение и изучение лекций и литературы для более углубленного изучения математического анализа.

По каждой теме представлены примеры для решения студентами, как на практических занятиях, так и для выполнения домашних заданий (наличие единого пособия в группе ведёт к более тщательному и объективному контролю знаний студентов).

ПРОГРАММА КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

(математический анализ)

Введение в математический анализ.

1. Предмет, методы математического анализа и связь его с другими дисциплинами. Переменные и постоянные величины, множества. Операции над множествами. Символика в математическом анализе. Декартова и полярная системы координат. Множество вещественных чисел и его свойства. Отрезок, интервал, ограниченные множества.

 

Числовые последовательности.

2. Определение числовой последовательности. Действия над последовательностями. Предел последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Теорема о вложенных отрезках.

3. Теоремы о пределах числовых последовательностей. Классификация неопределенностей. Монотонные последовательности.

 

Функции одной переменной.

4. Определение функциональной зависимости. Область определения и значения функции. Элементарные функции. Суперпозиция функций.

 

Предел функции.

5. Определение предела функции. Замечательные пределы.

6. Теоремы теории пределов функций. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин.

 

Непрерывность функций.

7. Определение непрерывности функции в точке. Операции над непрерывными функциями. Классификация точек разрыва функции. Суперпозиция непрерывных функций.

 

Свойства непрерывных функций.

8. Первая теорема Больцано – Коши. Вторая теорема Больцано – Коши. Теорема об обратной функции. Понятие о равномерной непрерывности.

 

Производная и дифференциал.

9. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Односторонние и бесконечные пределы.

10. Определение дифференциала. Связь между дифференцируемостью и существованием производной. Инвариантность формы дифференциала. Приближённые вычисления. Теоремы дифференциального исчисления.

11. Теорема Ферма, Ролля. Формулы Коши, Лагранжа. Производные высших порядков. Параметрическое дифференцирование.

 

Формула Тейлора. Правило Лопиталя.

12. Формула Тейлора для многочлена. Разложение произвольной функции. Дополнительный член в форме Пеано и Лагранжа.

13. Доказательство правила Лопиталя. Раскрытие неопределённостей , . Другие виды неопределённостей и их раскрытие.

 

Исследование функций.

14. Условие постоянства и монотонности функций. Экстремумы, необходимые и достаточные условия. Использование высших производных. Выпуклость и вогнутость функции.

 

Неопределённый интеграл

15. Понятие о первообразной функции. Таблица основных интегралов. Простейшие правила интегрирования. Интегрирование по частям и замена переменной. Интегрирование тригонометрических и показательных функций.

16. Подстановки Эйлера. Интегрирование биноминальных дифференциалов. Вывод рекуррентных соотношений. Разложение правильных дробей на простые дроби.

 

Определённый интеграл.

17. Определение и условия существования определённого интеграла. Сумма Дарбу. Нижний и верхний интегралы как пределы. Основная формула интегрального исчисления. Формулы замены переменной в определённом интеграле. Приложение интегрального исчисления.

18. Вычисление длины кривой. Вычисление площадей и объёмов. Примеры.

 

Функции нескольких переменных.

19. Физические задачи, приводящие к функции нескольких переменных. Понятие  - мерного пространства. Множество точек  - мерного пространства. Функция нескольких переменных. Предел. Поверхность уровня.

20. Повторные пределы. Непрерывность функции  переменных. Частные производные. Частный дифференциал. Полное приращение функции.

21. Полный дифференциал. Производная сложной функции. Полный дифференциал сложной функции. Производные и дифференциал высших порядков. Формула Тейлора.

22. Понятие экстремума функции, необходимое условие, минимаксы, абсолютный экстремум. Метод наименьших квадратов.

23. Неявные функции, якобианы. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа.

 

Теория рядов.

24. Числовые ряды, сходимость и сумма ряда. Критерий Коши. Признаки Даламбера и Коши, интегральный признак. Знакопеременные ряды, признак Лейбница. Функциональные последовательности и ряды.

25. Степенные ряды. Теорема Абеля, круг сходимости. Ряд Тейлора. Уравнение Бесселя, функции Бесселя.

26. Ряд Фурье, ортогональная система функций. Разложение по полной ортонормированной системе. Сходимость тригонометрического ряда.

 

Интегралы, зависящие от параметров.

27. Интегралы, зависящие от параметров, непрерывность. Дифференцирование и интегрирование по параметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Гамма - и бета - функции. Интеграл Фурье.

 

Кратные интегралы.

28. Задачи, приводящие к двойным интегралам. Двойной интеграл как предел суммы, основные свойства. Вычисление в декартовых и полярных координатах. Тройной интеграл, его свойства.

29. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Криволинейный интеграл первого и второго рода. Формула Грина. Теорема Остроградского, формула Стокса.

 

Векторный анализ.

30. Скалярные и векторные поля, векторные линии. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция, её инвариантное определение и физический смысл. Понятие о тензорных обозначениях.

31. Векторная формулировка теоремы Остроградского. Соленоидальное поле. Линейный интеграл в векторном поле, работа силового поля, циркуляция векторного поля, ротор векторного поля. Векторная формулировка теоремы Стокса. Потенциальное поле. Оператор Гамильтона. Операции в векторном анализе.

  Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование.

 

ЛИТЕРАТУРА: [5], ч.1, гл.6,§ 1; [6], п. 22.3

 

Функция  называется первообразной для функции , если   или

Если функция  имеет первообразную , то она имеет множество первообразных , где С – постоянная.

Неопределенным интегралом от функции  называется совокупность всех ее первообразных. Обозначается

Здесь - знак интеграла, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, x - переменная интегрирования.

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

 

Свойства неопределенного интеграла:

1).

2).

3).

4). .

Правила интегрирования:

1).

2).

3). Если  то  где

Таблица основных интегралов:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.
18.
19.
20.
21.

Примеры: Найти следующие интегралы:

1).

 

2).

5).

 

6).

Задачи:

Найти интегралы:

13).	14).
15).	16).
17).	18).
19).
21).
23).	24)
25)	26)