Метод неопределенных коэффициентов

ЛИТЕРАТУРА: [6] п. 24.3 – 24.4

 

Метод неопределенных коэффициентов используется для вычисления интегралов от рациональных дробей вида  многочлены степени m и n соответственно.

Рассмотрим основные этапы нахождения интегралов данным методом.

1). Если дробь  неправильная, т.е. m > n, то необходимо выделить целую часть, представив  в виде  где  - многочлены и степень многочлена  меньше n.

2). Раскладываем знаменатель  на множители:

где являются корнями многочлена  кратности  соответственно, а квадратные трехчлены  не раскладываются на множители.

3). Дробь  записывается как сумма элементарных дробей:

где коэффициенты  не определены.

 

Пример 1. Найти

Решение. Так как степени многочленов  равны, выделим целую часть:

Получим:  - целая часть,   - числитель дробной части. Т.е.

 

Разложим знаменатель   на множители:

 

тогда

Приравниваем числители левой и правой дробей:

Пусть

Подставляя найденные значения в разложение на элементарные дроби, получим:

Пример 2. Найти

Решение. Выделяем целую часть:

 

 

Следовательно:

так как корень x= 0 кратности 2, то получим следующее разложение на сумму дробей:

 и получаем систему для нахождения

 

Задачи:

Найти интегралы:

1).	2).
3).	4).
5).	6).
7).	8).
9).	10).