Интегрирование некоторых иррациональных функций

ЛИТЕРАТУРА: [6] п. 25.3 – 25.5

 

1). Интегралы вида

 где  - рациональная функция своих аргументов; - целые числа, вычисляются с помощью подстановки  где s – наименьший общий знаменатель дробей

В частности, для вычисления  применяется подстановка  где s – наименьший общий знаменатель дробей

 

Пример 1. Найти .

Решение. Делаем подстановку  тогда

Пример 2. Найти интеграл

 

Решение.

Делаем подстановку    тогда .

Методом неопределенных коэффициентов получаем

 

2). Интеграл от дифференциального бинома  где m, n, p - рациональные числа, может быть приведен к интегралу от рациональных функций лишь в следующих трех случаях (теорема Чебышева):

а) p – целое число. Полагаем  где N – общий знаменатель дробей m и n.

б) целое. Полагаем  где N – знаменатель дроби p.

в) целое. Применяем подстановку  где N – знаменатель дроби p.

Если n = 1, то эти случаи эквивалентны следующим:  

1) p – целое;

2) m – целое;

3) (m + p) – целое.

Пример 3. Найти интеграл

Решение. В нашем случае  Так как p – целое (случай а), то полагаем  тогда  и интеграл примет вид:

Для дальнейшего нахождения интеграла используем метод неопределенных коэффициентов

 т.е.

Пусть

Тогда

Подставляя  получим окончательный ответ:

 

3). Для интегралов вида

можно использовать подстановки Эйлера:

1). Если a > 0, то    

2). Если с > 0, то

3).Если  и   - действительные корни трехчлена  то

 

Пример 4. Найти интеграл

Решение. В нашем случае а = 1 > 0, используем подстановку:

тогда интеграл

Для дальнейшего решения используем метод неопределенных коэффициентов.

Задачи:

Найти интегралы:

1).	2).
3).	4).
5).	6).
7).	8).
9).	10).