Замена переменной в определенном интеграле

ЛИТЕРАТУРА [5], ч.1, гл.10,§ 7, п.3; [6] п. 20.1

 

Если функция  непрерывна на отрезке  функция, непрерывная вместе со своей производной  на отрезке  причем   определена и непрерывна на отрезке  то

Для преобразования подынтегрального выражения используются те же подстановки, что и для неопределенного интеграла.

 

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Делаем замену  находим новые пределы интегрирования:

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Делаем замену  тогда  находим новые пределы интегрирования:

Задачи:

Найти интегралы:

1).	2).
3).	4).
5).	6).
7).	8).
9).	10).

 

Интегрирование по частям

ЛИТЕРАТУРА: [5],ч.1, гл.10,§ 7,п.4; [6] п. 30.2

 

Если функции  непрерывно дифференцируемы на отрезке , то

 

 

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение.  

 

 

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение.

Задачи:

Найти интегралы:

1).	2).
3).	4).
5).	6).
7).	8).

 

Приложения определенного интеграла

ЛИТЕРАТУРА: [5] ч.1, гл.11; [6] § 32.

 

1. Площадь плоской фигуры. Прямоугольная система координат.

Если непрерывная кривая задана в прямоугольной системе координат уравнением , где , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя прямыми  и отрезком оси абсцисс   определяется формулой

 

 

В более общем случае, если площадь S ограничена двумя непрерывными кривыми   и двумя вертикальными линиями  при  то площадь вычисляется по формуле:

 

 

Если кривая задана уравнением в параметрической форме  то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикальными линиями  и отрезком оси ОХ, выражается интегралом

 

 

где  определяются из уравнений

 

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами

Решение. Построим заданные линии.

 (кв. ед.).

 

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды  и осью абсцисс.

Решение. Построим область интегрирования.

Если . С учетом того, что  получим

 

 

 

Пример3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Построим область интегрирования и разобьем ее на подобласти. Тогда

 

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Построим область интегрирования.

Площадь полученной фигуры удобнее вычислять, если рассматривать ее относительно оси OY. Пусть y – независимая переменная. Уравнения параболы и прямой запишем в виде . Тогда

 

2. Площадь плоской фигуры. Полярная система координат.

Если непрерывная кривая задана в полярной системе координат уравнением  то площадь сектора АОВ, ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами ОА и ОВ, соответствующими значениям , выразится интегралом

 

 

Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной линией  (двухлепестковая роза).

  Решение. Придавая последовательно приращения углу  построим график кривой.

 

С учетом симметричности фигуры искомая площадь равна

 

3. Длина дуги кривой.

а) В прямоугольной системе координат.

Длина l дуги гладкой кривой  содержащейся между двумя точками с абсциссами  равна

 

б) Заданной параметрически.

Если кривая задана параметрически уравнениями , где  непрерывно дифференцируемые функции, то длина дуги l кривой равна

 

 

где значения параметра, соответствующие концам дуги

 

в) В полярной системе координат.

Если гладкая кривая задана в полярной системе координат уравнением  то длина дуги l равна

 

 

где значения полярного угла в крайних точках дуги

Пример 6. Найти длину петли линии

Решение. Приравнивая y к нулю получим, что  С учетом того, что  получаем:

 

 

 

4. Объем тела вращения.

Объем тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой  осью OX и двумя вертикальными прямыми  вокруг оси OX  и OY, выражаются формулами

 

Если кривая задана в иной форме (параметрически, в полярных координатах и т.д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую замену переменной интегрирования.

В более общем случае, объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной кривыми   и прямыми x = a, x = b вокруг координатных осей OX, OY соответственно равны:

 

Пример 7. Фигура, ограниченная гиперболой  и прямой  вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела вращения.

Решение. Из чертежа и условия получаем

 

 

 

Объем тела, полученного при вращении сектора, ограниченного дугой кривой  и двумя полярными радиусами  вокруг полярной оси, может быть вычислен по формуле:

 

 

5. Площадь поверхности вращения.

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси OX дуги гладкой кривой  заключенной между точками  выражается формулой:

где  дифференциал дуги кривой.

Т.е.

Если дуга задана параметрическими уравнениями  то

Если дуга задана в полярных координатах , то

 

Пример 8. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси OX дуги кривой

Решение.  

 

 

 

В силу симметрии фигуры

Задачи:

1. Вычислить площадь, ограниченную линиями:

1).	2).
3).	4).
5).	6).
7).	8).
9). Астроидой	10). Лемнискатой
11). Кардиоидой	12).
13).	14).
15).	16).

 

2. Вычислить длину дуги кривой:

1).  отсеченной прямой .

2). .

3).  отсеченной прямой .

4). .

5).   между смежными точками пересечения с осями координат OX и OY.

 6). Одной арки циклоиды .

 7).  между точками пересечения осями координат.

 8).  между точками пересечения с осью OX.

 9). .

10). Кардиоиды .

11). Первого витка спирали .

12). Всей кривой .

 

3. Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

1).  вокруг оси OY

2).

3).

4).

5).

6). Одной аркой циклоиды

 

 

4. Определить площадь поверхности, образованной вращением кривой:

1). Дуги кривой

2). Дуги кривой  отсеченной прямой x=2 вокруг оси OX

3). Одной арки циклоиды  вокруг оси OX.

4). Всей кривой  вокруг оси OX.