2018-02-13
1246
Методичні вказівки
До виконання курсової
І РОЗРАхунково-графічної робіт
З дисципліни «Опір матеріалів»
(завдання і приклади розрахунків)
для студентів технічних напрямів підготовки
усіх форм навчання
Рекомендовано Методичною радою НТУУ «КПІ»
Київ
НТУУ «КПІ»
2010
Методичні вказівки до виконання курсової і розрахунково-графічної робіт з дисципліни «Опір матеріалів» (завдання і приклади розрахунків) для студентів технічних напрямів підготовки усіх форм навчання/ Уклад.: А.Є. Бабенко, О.О. Боронко, Б.І. Ковальчук, С.М. Шукаєв, Г.Є. Візерська, О.П. Заховайко, С.І. Трубачев, В.А. Колодежний, А.М. Бабак. – К.: ІВК “Видавництво «Політехніка»”, 2010. – 108 с.
ЗМІСТ
Вступ…...…………………………………………………...…………………...4
Задача № 1. Статично невизначувана балка..…………..……………….........6
Задача № 2. Статично невизначувана рама……….………..…….…….........17
Задача № 3. Неплоский згин…….………………………………………........25
Задача № 4. Позацентровий стиск...…….………………………...……........39
Задача № 5. Розрахунок круглого вала на згин з крученням.....…………...46
Задача № 6. Розрахунок просторової рами………….………………………54
Задача № 7. Проектувальний розрахунок на стійкість стиснутих
стержнів……..…………………………………..……………....61
Задача № 8. Розрахунок стержневої системи з врахуванням сил інерції....69
Задача № 9. Розрахунок на міцність при ударі…………………………...…76
Задача № 10. Вимушені коливання лінійної системи з одним ступенем
вільності за відсутності тертя……………...………....…….....80
Задача № 11. Розрахунок на міцність при повторно-змінному
навантаженні круглого вала на згин з крученням...................88
Задача № 12. Розрахунок тонкостінної посудини на опорах………...…….95
Список рекомендованої літератури…………………....…………...………105
Додатки………………….……………………………………………………106
ВСТУП
Опір матеріалів – одна з базових загальнотехнічних дисциплін, яка відіграє важливу роль у підготовці інженерних кадрів. Значне місце в практичній діяльності інженерів посідають розрахунки на міцність, жорсткість і стійкість – основні завдання опору матеріалів.
У вивченні курсу опору матеріалів найефективніший метод навчання прийомам розв’язування задач – самостійна робота студентів. Тому в програмах курсу опору матеріалів для студентів НТУУ “КПІ”передбачено виконання протягом навчального року курсової або розрахунково-графічних робіт, мета яких – закріпити та поглибити знання, набуті під час вивчення теоретичного курсу, засвоїти методики розрахунків елементів конструкцій з вибором відповідного матеріалу і розрахункової схеми, навчитися користуватися довідковою літературою.
Курсова і розрахунково-графічні роботи складаються з двох частин і охоплюють найтиповіші для практики задачі, що відповідають усім основним розділам опору матеріалів.
Більшість виданих методичних вказівок містять тільки завдання до курсових чи розрахунково-графічних робіт. Досвід показує, що під час самостійного виконання робіт у студентів виникає ряд труднощів. Це зумовлює потребу детального розгляду указаних робіт і задач на практичних заняттях і тим самим обмежує, за браком часу, можливість розв’язання інших важливих з теоретичного і практичного боку задач, що не увійшли до курсової чи розрахунково-графічної роботи.
Методичні вказівки містять завдання і приклади розв’язання задач другої частини курсової роботи, а також задач, які згідно з навчальними програмами курсів можуть бути включені до розрахунково-графічної роботи. В останньому випадку може бути змінено і обсяг розрахункової частини тих чи інших задач. Методичні вказівки охоплюють такі розділи теоретичного курсу: “Статично невизначувані системи”, “Складний опір”, “Стійкість стиснутих стержнів”, “Розрахунок систем з врахуванням сил інерції”, ”Розрахунок при ударі”, “Вимушені коливання”, “Розрахунок при повторно-змінному навантаженні”, “Розрахунок оболонок”.
Використовуючи наведені в умовах задач дані, слід мати на увазі таке. Якщо навантаження подано з від’ємним знаком, то на розрахунковій схемі його напрямок потрібно змінити на протилежний і знак “мінус” опустити.
Розв’язання задач супроводжується роз’ясненням складних теоретичних положень, формулюванням правил, за якими знаходять ті чи інші величини. Це дає можливість студентам після уважного вивчення певних розділів теоретичного курсу і детального розгляду прикладів розв’язання задач самостійно виконати роботу.
У підготовці методичних вказівок використано розробки колективу кафедри [3, 4].
Задача 1
Статично невизначувана балка
Для заданої балки (рис. 1.1, табл. 1.1) підібрати переріз заданої форми і визначити зазначене переміщення перерізу А, 
.
Таблиця 1.1. Варіанти завдань до задачі 1
| Варіант | q 1, кН/м | q 2, кН/м | Р, кН | М, кН∙м | Переміщення | Матеріал | Форма перерізу |
| 0 | 25 | 0 | –10 | 30 | wA | Сталь10 | І |
| 1 | 0 | –20 | 15 | 20 | θ A | Сталь60 | [] |
| 2 | –15 | 0 | 20 | 10 | wA | Сталь50 | ][ |
| 3 | 0 | 25 | –25 | 40 | θ A | Сталь30 | І |
| 4 | 10 | 0 | 30 | –50 | wA | Сталь20 | ІІ |
| 5 | 0 | –15 | 35 | 10 | θ A | Сталь20Г | [] |
| 6 | –20 | 0 | 40 | 20 | wA | Сталь25 | ][ |
| 7 | 0 | 10 | –30 | 30 | θ A | Сталь30Г | ІІ |
| 8 | 20 | 0 | 10 | –40 | wA | Сталь35 | [] |
| 9 | 0 | –10 | 20 | 50 | θ A | Сталь50Г | ][ |
План розв’язування задачі
1. Розкрити статичну невизначуваність балки методом рівняння трьох моментів або за допомогою канонічних рівнянь методу сил. В останньому випадку перш за все необхідно побудувати найбільш раціональний варіант еквівалентної розрахункової схеми.
2. Перевірити правильність розкриття статичної невизначуваності балки (коли невизначуваність балки розкривається обома методами, перевірку можна не робити).
3. Для еквівалентної розрахункової схеми побудувати епюру згинальних моментів.
4. Підібрати з умови міцності за нормальними напруженнями розміри поперечного перерізу балки вказаної форми (підібрати за сортаментом відповідний профіль).
5. Визначити вказане переміщення перерізу А методом Мора або Верещагіна.
Розв’язання задачі
Для заданої балки (рис. 1.2, а) підібрати прямокутний переріз (
). Визначити вертикальне переміщення перерізу А. При цьому 
для всієї балки, а матеріал балки – сталь 20, для якої допустиме напруження на розтяг 
.
Балка два рази статично невизначувана.
1А. Розкриємо статичну невизначуваність за допомогою методу трьох моментів, зайвими невідомими в цьому випадку будуть згинальні моменти в опорних перерізах, а рівняння трьох моментів матиме вигляд
.
Пронумеруємо опори та прогони балки (опори, починаючи з нуля, прогони – з одиниці). На рис. 1.2, б показана еквівалентна система, тобто основана система, яку завантажено заданим навантаженням і згинальними моментами в опорних перерізах. Побудуємо епюри згинальних моментів для окремих балок основної системи тільки від заданого навантаження (епюри 
) (рис. 1.2, в).
Для першої проміжної опори записуємо рівняння трьох моментів 
:
,
при цьому
,
.
Тоді рівняння трьох моментів для першої проміжної опори матиме вигляд
,
звідси
.
Запишемо рівняння трьох моментів для другої проміжної опори 
:
,
де
.
Тоді для другої проміжної опори рівняння трьох моментів виглядає:
або
.
Отже маємо систему рівнянь:
Звідси
, 
.
Визначимо реакції в опорах 0 і 1. Для цього розглянемо прості балки, навантажені лише знайденими моментами 
та 
, і обчислимо реакції від дії цих моментів (рис. 1.2, г). Враховуючи ці реакції разом з реакціями від зовнішнього навантаження, які показані попередньо на тому ж рис. 1.2, б, знайдемо:
,
.
1Б. Розкриємо статичну невизначуваність балки за допомогою канонічних рівнянь методу сил.
Основну систему візьмемо, відкинувши зайві зв’язки, приймаючи за такі шарнірно-рухомі опори в перерізах В і С (рис. 1.3, б).
Завантаживши основну систему заданим навантаженням та зайвими невідомими 
та 
, отримаємо еквівалентну систему (рис. 1.3, в).
Канонічні рівняння методу сил для два рази статичної невизначуваної балки мають вигляд:
Коефіцієнти та вільні члени цієї системи рівнянь обчислимо методом Верещагіна:
.
Для цього треба основну систему спочатку завантажити заданим навантаженням і отримати силову систему, для якої побудувати епюру згинальних моментів . Розшарована епюра показана на рис. 1.3, г. Наступним етапом завантажуємо основну систему одиничною силою 
і будуємо епюру згинальних моментів. 
для цієї одиничної системи, а далі основну систему завантажуємо одиничною силою 
і будуємо епюру згинальних моментів 
. Обидві епюри показані на рис. 1.3, д, е.
| |
Визначимо коефіцієнти та вільні члени канонічних рівнянь за методом Верещагіна:
,
,
,
,
.
Тоді канонічні рівняння методу сил приймають такий вигляд:
Звідси
, 
.
Відмітимо, що ці результати збігаються з попередніми результатами, які мають місце при розкритті статичної невизначуваності методом трьох моментів. Тому додаткова перевірка цих даних не потрібна, а еквівалентна система виглядає, як показано на рис. 1.2, д.
Будуємо епюру згинальних моментів М для еквівалентної системи, тобто для заданої балки, яка представлена на рис. 1.2, е. Максимальний
згинальний момент, що діє в небезпечному перерізі, 
.
3. Підберемо розміри прямокутного перерізу з . Умова міцності для небезпечного перерізу має вигляд:
,
звідси
.
Для прямокутника
,
, 
.
Момент інерції прямокутного перерізу відносно осі z:
.
4. Визначим вертикальне переміщення перерізу А методом Мора. Для цього розглянемо еквівалентну балку і одиничну систему (рис. 1.4). Одиничну систему отримаємо, приклавши до еквівалентної системи одиничну вертикальну силу в перерізі А:
Запишемо вирази для згинальних моментів М від зовнішнього навантаження та обчислених реакцій шарнірно рухомих опор та вирази згинальних моментів 
від одиничної сили, яка прикладена в перерізі А. На кожній ділянці ці вирази М та мають вигляд:
ділянка І 
: 
,
ділянка ІI 
: 
ділянка ІII 
: 
ділянка IV 
:
ділянка V 
:
Інтеграл Мора для визначення 
має вигляд:
,
де 
.
.
Задача 2
Статично невизначувана рама
Для заданої рами (рис.2.1, табл. 2.1) підібрати двотавровий переріз і визначити переміщення перерізу А. Взяти 
, 
. З двох зв’язків 1 та 2 залишити той, що вказаний в табл. 2.1.
Таблиця 2.1. Варіанти завдань до задачі 2
| Варіант | Q кН/м | Р кН | М кНм | Переміщення | Матеріал | N зв’язку |
| 0 | 10 | –30 | 40 | wA верт | Сталь25 | 2 |
| 1 | –15 | 25 | 35 | wA гор | Сталь30 | 1 |
| 2 | 20 | –20 | 30 | θ A | Сталь40 | 2 |
| 3 | 25 | 15 | –25 | θ A | Сталь35 | 1 |
| 4 | –10 | 30 | 20 | wA гор | Сталь50 | 2 |
| 5 | 15 | 25 | –20 | wA верт | Сталь55 | 1 |
| 6 | 20 | –10 | 40 | θ A | Сталь50Г | 1 |
| 7 | 25 | 20 | –35 | θ A | Сталь10 | 2 |
| 8 | 30 | 10 | –30 | wA верт | Сталь60 | 2 |
| 9 | –30 | 20 | 25 | wA гор | Сталь30Г | 1 |
План розв’язування задачі
1. Розкрити статичну невизначуваність рами, користуючись канонічними рівняннями методу сил. Для цього необхідно:
– відкинувши зайвий зв’язок, побудувати найбільш раціональний варіант основної системи;
– завантаживши основну систему заданим навантаженням і зайвим зусиллям Х 1, що замінює дію зайвого зв’язку, побудувати еквівалентну систему;
– записати канонічне рівняння методу сил;
– завантажити основну систему по черзі заданим навантаженням і одиничною силою 
і записати вирази для згинальних моментів від заданих сил 
та одиничної сили 
(при використанні способу
Верещагіна побудувати відповідні епюри), обчислити коефіцієнт та вільний член канонічного рівняння за формулами Мора або Верещагіна;
– розв’язати канонічне рівняння і визначити невідоме зусилля Х 1;
2. Побудувати епюру згинальних моментів М для еквівалентної системи.
3. Перевірити правильність розкриття статичної невизначуваності системи, переконавшись за допомогою метода Мора або Верещагіна, що переміщення в напрямку сили Х 1 дорівнює нулю.
4. З умови міцності на згин підібрати двотавровий переріз.
5. Визначити вказане переміщення перерізу А методом Мора або Верещагіна.
Розв’язання задачі
Підібрати двотавровий переріз для рами, показаної на рис. 2.2, а, та визначити кут повороту перерізу А. При цьому для всієї рами, матеріал рами – сталь 20, для якої допустиме напруження на розтяг .
Рама один раз статично невизначувана. Основну систему виберемо, відкинувши зайвий зв'язок – шарнірно-рухому опору (рис. 2.2, б). Завантаживши основну систему заданим навантаженням та зайвою невідомою силою Х1, яка замінює дію відкинутого зв’язку, отримаємо еквівалентну систему (рис. 2.2, в).
Канонічне рівняння методу сил для один раз статично невизначуваної рами має вигляд:
, звідки 
.
Отже, щоб визначити зайву невідому силу Х 1, треба попередньо обчислити коефіцієнт 
та вільний член 
. Їх визначимо методом Верещагіна. Для цього основну систему завантажуємо заданим зовнішнім навантаженням і записуємо вирази для згинальних моментів від заданих сил
|
на кожній ділянці (рис. 2.2, г):
ділянка І 
: 
;
ділянка IІ 
: 
;
ділянка IIІ 
: 
;
ділянка ІV : 
.
Будуємо епюру згинальних моментів (рис. 2.2, д).
Для одиничної системи (рис. 2.2, е):
ділянка І : 
;
ділянка IІ : 
;
ділянка IIІ : ;
ділянка ІV : 
.
За цими даними побудуємо епюру згинальних моментів 
(рис. 2.2, е).
За допомогою епюр та обчислимо коефіцієнт та вільний член канонічного рівняння методу сил:
,
.
Таким чином, 
.
Отже задана рама навантажена, як показано на рис. 2.2, ж.
2. Будуємо епюру згинальних моментів М для еквівалентної системи, записавши спочатку вирази для згинальних моментів М на кожній ділянці:
ділянка І : 
;
ділянка IІ : 
;
ділянка IIІ : 
;
ділянка ІV : 
.
Епюра згинальних моментів М для цього випадку представлена на рис. 2.3, а.
3. Перевіримо правильність розкриття статичної невизначуваності рами. З цією метою обчислимо переміщення перерізу В в напрямку сили Х 1 за методом Верещагіна, враховуючи попередньо побудовані епюри згинальних моментів М (рис. 2.3, а) та (рис. 2.2, є).
На рис. 2.3, б показано розшаровану епюру М на ІІ, ІІІ, ІV ділянках:
ω1 – площа епюри М на ІІ і ІІІ ділянках від 
;
ω2 – площа епюри М на ІІІ ділянці від 
;
ω3 – площа епюри М на ІV ділянці від 
, та ;
ω4 – площа епюри М на ІV ділянці від 
.
Шукане переміщення:
В зв’язку з тим, що при розкритті статичної невизначуваності системи зайві невідомі визначаються з окресленою точністю, наслідки перевірки мають також похибку – шукані переміщення відрізняються від нуля. Тому при перевірці рекомендується окремо обчислювати суму додатних та від’ємних членів. Якщо виражене у відсотках відношення різниці між цими сумами до меншої з них невелике (до 5 %), то результат можна вважати задовільним.
В нашому випадку
,
отже статична невизначуваність рами розкрита правильно.
4. Підберемо двотавровий переріз для еквівалентної системи, тобто для заданої рами з умови міцності рами:
, звідси 
.
З епюри згинальних моментів для еквівалентної системи (рис. 2.3) витікає, що 
.
Тому момент опору двотаврового перерізу:
.
Орієнтуючись на цей результат, вибираємо двотавр № 20a, для якого
, 
.
5. На цьому етапі розрахунку визначимо кут повороту перерізу А методом Верещягіна (або Мора). У зв’язку з цим розглянемо одиничну систему, тобто випадок, коли основна система в перерізі А завантажується одиничним моментом (рис. 2.3, в).
При цьому вирази для згинальних моментів на ділянках мають вигляд:
ділянки І і ІV: 
;
ділянки IІ і IIІ: 
.
Кут повороту перерізу A рами:
.
Від’ємний знак означає, що переріз A повертається у протилежному по відношенню до одиничного моменту, що прикладений в цьому перерізі, напрямку, тобто за годинниковою стрілкою.
Задача 3
Неплоский згин
На балку діє просторова система сил (рис. 3.1, табл. 3.1). З умови міцності дібрати безпечний переріз балки вказаної форми. Вважаючи осі y і z (рис. 3.1) головними центральними осями заданого перерізу, розташувати його найраціональнішим чином. У небезпечному перерізі знайти положення нейтральної лінії і побудувати сумарну епюру розподілу напружень. Визначити величину та напрямок повного прогину у вказаному перерізі А. Взяти , 
.
Таблиця 3.1. Варіанти завдань до задачі 3
| Варіант | 
| 
| 
| 
| Переріз | Матеріал |
| 0 | 10 | 12 | -14 | π/3 | [] | Сталь 10 |
| 1 | 12 | -14 | 18 | π/6 | ][ | Сталь 20 |
| 0 | 10 | 12 | -14 | π/3 | [] | Сталь 10 |
| 3 | 18 | 25 | 30 | 3π/4 | [] | Сталь 30 |
| 4 | 2 | -6 | 8 | 5π/6 | ][ | Сталь 35 |
| 5 | 6 | 10 | -10 | 4π/3 | 
| Сталь 40 |
| 6 | 4 | 8 | 12 | 5π/4 | [] | Сталь 45 |
| 7 | 8 | 15 | -15 | 7π/3 | ][ | Сталь 50 |
| 8 | 16 | -18 | -30 | π/4 |
| Сталь 55 |
| 9 | 20 | 40 | 50 | 7π/6 | [] | Сталь 60 |
План розв’язування задачі
1. Зобразити в масштабі розрахункову схему.
2. Розкласти всі навантаження на складові, що діють у головних площинах 
та 
.
3. Побудувати епюри згинальних моментів 
і 
(поперечними силами 
і 
в розрахунках на міцність та жорсткість знехтувати).
4. Визначити небезпечний переріз балки.
 
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Рис. 3.1. Варіанти розрахункових схем балок до задачі 3
5. Вибрати раціональне розташування перерізу вказаної форми.
6. Методом послідовних наближень дібрати переріз з розрахунку на міцність за нормальними напруженнями.
7. Визначити положення нейтральної лінії в небезпечному перерізі і побудувати епюру сумарних напружень.
8. Будь-яким з відомих методів визначити прогини балки в перерізі А у головних площинах та , а потім обчислити величину повного прогину та знайти його напрямок у вибраній системі координат. Для цього слід накреслити переріз в масштабі, векторну діаграму переміщень його центру мас, зобразивши в певному масштабі знайдені вектори переміщень у головних площинах, та знайти вектор сумарного переміщення. Обчислити кут його нахилу відносно однієї з головних осей.
Розв’язання задачі
Дано (рис. 3.2): 
, 
, 
, 
, 
, переріз – [] (два швелери), матеріал – сталь 20 з модулем пружності 
та границею текучості 
, коефіцієнт запасу міцності .
1. Зобразимо розрахункову схему, розклавши попередньо всі сили на складові, що діють у головних площинах та (рис. 3.3).
Рис. 3.2. Розрахункова схема балки для умов неплоского згину
В даному прикладі слід розкласти лише рівномірно розподілене навантаження q:
;
.
Рис. 3.3. Розрахункова схема балки модифікована
2. Визначаємо опорні реакції в кожній площині з умов рівноваги балки (розрахункові схеми подані на рис. 3.4).
У площині :
;
.
Звідси 
, 
.
У площині :
;
.
Звідси 
, 
.
3. Побудуємо в площинах та епюри згинальних моментів і . Для цього запишемо вирази для згинальних моментів для кожної ділянки у відповідних площинах. Ці вирази нам знадобляться також при визначенні прогинів балки у заданому перерізі А.
Рис. 3.4. Епюри згинальних моментів
У площині :
.
.
У площині :
.
.
Підставляючи числові значення в отримані рівняння, будуємо епюри згинальних моментів і (див. рис. 3.4, а і б відповідно).
4. Аналізуючи епюри згинальних моментів, приходимо до висновку, що небезпечним є переріз В. Тут діють моменти 
і 
. Інші перерізи, згідно з епюрами моментів, менш навантажені. Тому саме для цього перерізу і проведемо необхідні розрахунки, пов’язані з добором безпечних розмірів швелерів та раціональним розташуванням перерізу, з них складеного, відносно головних осей інерції.
5. Почнемо розрахунки з вибору раціонального розташування перерізу балки заданої форми відносно осей y і z. При цьому керуватимемось такими міркуваннями.
Оскільки в площині xz діє більший за абсолютною величиною згинальний момент My, то саме в цій площині розмістимо висоту перерізу. Адже в цьому випадку більшому згинальному моменту відповідатиме більший момент опору перерізу (рис. 3.5).
Рис. 3.5. Схема раціонального розташування перерізу балки відносно заданої системи координат
6. Як відомо, для такого типу перерізів небезпечна точка збігається з однією з вершин умовного прямокутника, в який даний переріз вписується, і саме з тією точкою, в якій напруження, викликані дією моментів, мають один знак. Для перерізу В умова міцності матиме вигляд:
.
Невідомими тут є моменти опору перерізу 
і 
. Тому розрахунок ведуть методом послідовних наближень. При цьому можна попередньо вибрати деякий номер швелера, визначити моменти опору складеного з цих швелерів перерізу і перевірити його на міцність. В разі значної розбіжності між діючим та допустимим напруженнями слід вибрати інший типорозмір, аж поки ця різниця не досягне мінімального значення.
Примітка: перевантаження, коли діюче напруження 
, допускається до 3 %.
В нашому прикладі можна скоротити цей шлях, адже в небезпечному перерізі згинальний момент в одній площині () значно перевищує згинальний момент в іншій площині (). Тому можна спробувати дібрати переріз з умови міцності лише в площині дії максимального моменту, а потім перевірити його на міцність з урахуванням іншої складової моменту.
Виходячи з цих міркувань, запишемо:
.
Допустиме напруження для сталі 20 
. Отже,
.
Ми знайшли необхідний момент опору складеного перерізу відносно осі у. Враховуючи, що момент опору для перерізу, що розглядається, 
, де 
- момент інерції одного швелера відносно осі у (див. рис. 3.5), отримаємо
.
З таблиць сортаментів прокатної сталі вибираємо номер швелера з найближчим більшим значенням моменту опору. Це швелер № 14 з такими геометричними характеристиками: 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Знаходимо моменти інерції 
і 
та моменти опору і для складеного перерізу (див. рис. 3.5):
;
;
;
.
Перевіряємо на міцність переріз з урахуванням :
Умова міцності виконується.
Отже, зупиняємось на перерізі, що складається з швелерів № 14. Проте, згідно з епюрами моментів (див. рис. 3.4), потенційно небезпечним є також переріз С. Хоч тут і діє тільки згинальний момент у площині хy, проте величина його (
) близька до величини максимального моменту у вибраному нами небезпечному перерізі В, в той час як момент опору перерізу у цій площині менший від .
Перевіримо на міцність балку в перерізі С:
.
Умова міцності виконується.
7. Визначаємо положення нейтральної лінії в небезпечному перерізі В і будуємо епюру сумарних напружень.
Креслимо в масштабі переріз балки (рис. 3.6).
Щоб спростити знаходження положення нейтральної лінії в перерізі та для більшої наочності, зручно спочатку показати положення силової лінії. Вона проходить через квадранти, в яких обидва моменти M y і M z викликають деформації волокон одного знаку: або стиск, або розтяг. Згідно з рис. 3.6 – це другий і четвертий квадранти. Кут нахилу силової лінії до осі у обчислимо за формулою
.
Визначаємо положення нейтральної лінії відносно осі z:
.
Проходить нейтральна лінія відповідно через перший і третій квадранти (про це свідчить і знак "−" у формулі для кута β).
Проводимо нейтральну лінію і перпендикулярно до неї – базову лінію епюри сумарних напружень. Проводимо також базові лінії епюр розподілу напружень по сторонах перерізу. Небезпечні точки перерізу – найвіддаленіші від нейтральної лінії. Тобто це точки D i E. Тут діють максимальні напруження: стискувальні для точки D і розтягувальні для точки Е (знак напружень визначаємо за напрямком дії згинальних моментів і ).
Рис. 3.6. Епюри розподілу напружень у перерізі В
Користуючись результатами розрахунків для 
(див. п. 6), запишемо:
; 
;
;
.
За отриманими даними будуємо епюри напружень (див. рис. 3.6).
8. Визначаємо прогини балки в перерізі А у головних площинах та та величину повного прогину, користуючись методом Мора.
Прогин у площині позначимо 
, а у площині – 
.
Для визначення прогину у площині до балки в перерізі А прикладаємо одиничну силу 
(рис. 3.7, а) та записуємо вирази для згинальних моментів на кожній ділянці стержня (точки відліку положень довільного перерізу х на кожній ділянці узгоджуємо з вибраними в п. 3 при визначенні згинальних моментів від заданого навантаження).
У площині :
.
.
Рис. 3.7. Схеми прикладання до балки одиничних навантажень при визначенні прогинів у перерізі А
Користуючись виразами для згинальних моментів від заданого навантаження, отриманими в п. 3, та одиничного навантаження, запишемо інтеграл Мора у вигляді:
Отже, величина прогину у площині складає 
. Знак „-” означає, що прогин спрямований у бік, протилежний до напрямку одиничної сили 
(див. рис. 3.7, а).
Для визначення прогину у площині прикладаємо в перерізі А одиничну силу 
(рис. 3.7, б) і проводимо всі необхідні обчислення у послідовності, як і для площини .
Вирази для згинальних моментів від одиничного навантаження:
.
.
Інтеграл Мора:
Сумарний прогин знаходимо як геометричну суму знайдених прогинів:
.
Щоб визначити напрямок прогину, треба побудувати векторну діаграму переміщень центру ваги перерізу А, зобразивши в масштабі вектори переміщень 
і 
.
Слід зазначити, що в нашому випадку напрямок сумарного прогину практично збігається з напрямком прогину в площині , оскільки 
. Однак, з метою показати методику таких обчислень повністю, зобразимо векторну діаграму переміщень без дотримання масштабів, вказавши лише реальні напрямки знайдених прогинів (рис. 3.8).
Кут між напрямком сумарного прогину та віссю z знайдемо зі співвідношення:
.
Рис. 3.8. Векторна діаграма переміщень перерізу А
Задача 4
Позацентровий стиск
Бетонна колона стискається силою Р, що діє паралельно осі колони, але не збігається з віссю (рис. 4.1). Для заданого перерізу колони (табл. 4.1, рис. 4.2) визначити допустиме значення сили Р і побудувати епюру розподілення напружень в перерізі, якщо відома точка прикладання сили Р в системі координат z ’, y ’ і допустимі значення напружень на розтяг 
і на стиск 
.
Рис. 4.1. Приклад позацентрового стиску колони
Таблиця 4.1. Варіанти завдань до задачі 4
| Параметр | Варіант | |||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| а, см | 70 | 65 | 50 | 45 | 40
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
 Сейчас читают про:
  5811 5503 | |||||
