Вероятностное пространство называется дискретным, если конечно или счетно, - - алгебра всех подмножеств (включая ), вероятность определена для каждого одноточечного подмножества пространства элементарных событий :
, , (16.1)
. (16.2)
Для любого события его вероятность определяется равенством
. (16.3)
Примеры - алгебр
17.1. Пусть - произвольное пространство элементарных событий, на котором не заданы какие-либо события. Для построения - алгебры согласно определению (п.15) необходимо рассмотреть все дополнения, объединения и пересечения заданных событий и включить их в - алгебру. Поскольку в данном случае имеется единственное событие , то возможно построить только его дополнение . Теперь имеется система из двух событий { }. Дальнейшее применение операций дополнения, объединения, пересечения не дает новых событий. Таким образом, в данном примере - алгебра .
|
|
17.2. Пусть - пространство элементарных событий и - некоторое событие, не совпадающее с , т.е. . Таким образом, имеется система из двух событий . Эту систему можно расширять, включая в нее новые события, которые получаются в результате операций дополнения, объединения, пересечения над событиями . Процедуру расширения системы событий имеет смысл продолжить рекуррентно до прекращения появление новых событий. Предельная система событий называется - алгеброй, порожденной системой событий .
Рассмотрим операцию дополнения над событиями системы. Ее результат , - это новые события, не содержащиеся в исходной системе , включение которых дает новую систему событий
. (17.1)
Очевидно, последующие операции дополнения, объединения, пересечения не дают новых событий, не содержащихся в (17.1). Таким образом, система событий (17.1) является - алгеброй, порожденной системой .
17.3. Усложним пример. Пусть - пространство элементарных событий, - два несовместных события, таких что . Таким образом, имеется система трех событий . Операция объединения над событиями этой системы приводит к появлению одного нового события . Полученная система четырех событий расширяется до восьми путем включения их дополнений. Несложно видеть, что применение операций дополнения, объединения, пересечения к этим восьми событиям не порождает новых событий. Таким образом, система восьми событий
(17.2)
является - алгеброй, порожденной системой событий .
17.4. Рассмотрим - пространство элементарных событий и два произвольных события , рис. 17.1. Для построения - алгебры, порожденной некоторой системой событий, во многих случаях удобно применить следующий прием.
|
|
На выделим все несовместные события , рис. 17.1. При этом , , , , и т.д. - алгебра будет содержать все события , все объединения событий , а также невозможное событие . Действительно, операция пересечения любых событий из множества порождает единственное событие . Операция дополнения над событиями из множества порождает событие, которое выражается через объединение событий . Следовательно, над событиями достаточно рассмотреть только операцию объединения, вместо трех операций - дополнения, пересечения, объединения для исходной системы событий .
Теперь для построения - алгебры рассмотрим события , все их объединения и выразим полученные события через исходные . Очевидно: , , , . Парные объединения дают следующие события: , , ; , ; . Тройные объединения: , , , .
Таким образом, - алгебра содержит события: , , , ; , , , , , ; , , , , а также и - всего 16 событий.
Отметим, что при определении - алгебры порождающая система событий, как правило, составляется из событий, наблюдаемых в опыте.
Отметим, что события совпадают с событиями (8.1), которые рассматривались при выводе формулы сложения для частот. Действительно, , , и наконец, по формуле (6.1) .
17.5. Рассмотрим обобщение примера 4. Пусть исходная система событий - содержит произвольных событий . Для построения - алгебры, подобно примеру 4, введем события вида
, (17.3)
где каждое или , причем и . Поскольку каждое может принимать два значения 0 или 1, то число всех событий вида равно . Эти события образуют полную группу несовместных событий. Таким образом, события на - алгебре выполняют роль ортогонального базиса, позволяющего представить произвольное событие через несовместные (ортогональные в смысле операции пересечения) события . В теории множеств множества вида называются конституентами. Аппарат конституент позволяет показать, что в данном примере число всех событий - алгебры не превышает (включая и ), причем число событий достигает максимального значения, когда все отличны от (как в примере 4). Этот результат позволяет судить о высокой скорости роста числа событий в - алгебре в зависимости от - числа событий в исходной системе. Для примера 4 число , следовательно, число событий в - алгебре равно .