Дискретное вероятностное пространство

Вероятностное пространство  называется дискретным, если  конечно или счетно,  - - алгебра всех подмножеств  (включая ), вероятность  определена для каждого одноточечного подмножества  пространства элементарных событий :

    , ,                             (16.1)

    .                                   (16.2)

Для любого события  его вероятность  определяется равенством

    .                                   (16.3)

Примеры - алгебр

17.1. Пусть - произвольное пространство элементарных событий, на котором не заданы какие-либо события. Для построения - алгебры согласно определению (п.15) необходимо рассмотреть все дополнения, объединения и пересечения заданных событий и включить их в - алгебру. Поскольку в данном случае имеется единственное событие , то возможно построить только его дополнение . Теперь имеется система из двух событий { }. Дальнейшее применение операций дополнения, объединения, пересечения не дает новых событий. Таким образом, в данном примере - алгебра .

17.2. Пусть - пространство элементарных событий и  - некоторое событие, не совпадающее с , т.е. . Таким образом, имеется система из двух событий . Эту систему можно расширять, включая в нее новые события, которые получаются в результате операций дополнения, объединения, пересечения над событиями . Процедуру расширения системы событий имеет смысл продолжить рекуррентно до прекращения появление новых событий. Предельная система событий называется - алгеброй, порожденной системой событий .

Рассмотрим операцию дополнения над событиями системы. Ее результат ,  - это новые события, не содержащиеся в исходной системе , включение которых дает новую систему событий

    .                                         (17.1)

Очевидно, последующие операции дополнения, объединения, пересечения не дают новых событий, не содержащихся в (17.1). Таким образом, система событий (17.1) является - алгеброй, порожденной системой .

17.3. Усложним пример. Пусть  - пространство элементарных событий,  - два несовместных события, таких что . Таким образом, имеется система трех событий . Операция объединения над событиями этой системы приводит к появлению одного нового события . Полученная система четырех событий расширяется до восьми путем включения их дополнений. Несложно видеть, что применение операций дополнения, объединения, пересечения к этим восьми событиям не порождает новых событий. Таким образом, система восьми событий

                         (17.2)

является - алгеброй, порожденной системой событий .

17.4. Рассмотрим - пространство элементарных событий и два произвольных события , рис. 17.1. Для построения - алгебры, порожденной некоторой системой событий, во многих случаях удобно применить следующий прием.

На  выделим все несовместные события , рис. 17.1. При этом , , , ,  и т.д. - алгебра будет содержать все события , все объединения событий , а также невозможное событие . Действительно, операция пересечения любых событий из множества  порождает единственное событие . Операция дополнения над событиями из множества  порождает событие, которое выражается через объединение событий . Следовательно, над событиями  достаточно рассмотреть только операцию объединения, вместо трех операций - дополнения, пересечения, объединения для исходной системы событий .

Теперь для построения - алгебры рассмотрим события , все их объединения и выразим полученные события через исходные . Очевидно: , , , . Парные объединения дают следующие события: , , ; , ; . Тройные объединения: , , , .

Таким образом, - алгебра содержит события: , , , ; , , , , , ; , , , , а также  и  - всего 16 событий.

Отметим, что при определении - алгебры порождающая система событий, как правило, составляется из событий, наблюдаемых в опыте.

Отметим, что события  совпадают с событиями (8.1), которые рассматривались при выводе формулы сложения для частот. Действительно, , ,  и наконец, по формуле (6.1) .

17.5. Рассмотрим обобщение примера 4. Пусть исходная система событий  - содержит  произвольных событий . Для построения - алгебры, подобно примеру 4, введем события вида

    ,                                        (17.3)

где каждое  или , причем  и . Поскольку каждое  может принимать два значения 0 или 1, то число всех событий вида  равно . Эти события образуют полную группу несовместных событий. Таким образом, события  на - алгебре выполняют роль ортогонального базиса, позволяющего представить произвольное событие  через несовместные (ортогональные в смысле операции пересечения) события . В теории множеств множества вида  называются конституентами. Аппарат конституент позволяет показать, что в данном примере число всех событий - алгебры не превышает  (включая  и ), причем число событий достигает максимального значения, когда все  отличны от  (как в примере 4). Этот результат позволяет судить о высокой скорости роста числа событий в - алгебре в зависимости от  - числа событий в исходной системе. Для примера 4 число , следовательно, число событий в - алгебре равно .