2020-01-14
91
Для неявной разностной схемы апроксимация уравнения теплопроводности будет иметь следующий вид:
(3.1)
Теперь удобно ввести 
и в левой и правой части сгруппировать все члены с индексрмj+1:
(3.2)
Известная функция u(i,j) связана функциональной зависимостью с тремя неизвестными функциями на последующем слое. Для заданного временного слоя такие уравнения надо записать для всех внутренних точек i=2….n-1 и дополнить их граничными условиями i=1,n. Тогда получим систему с трех диагональной матриц неизвестных членов, которая решается с помощью метода прогонки.
Так как в задаче заданна температура окружающей среды, то имеем граничные условия 3-го рода. Запишем уравнения для граничных и внутренних точек одного временного слоя.
Для i=1, имеем:
(3.3)
(3.4)
Обозначим 
, 
, получим уравнение для i=1:
(3.5)
Для i=2…n-1, имеем:
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Для i=n, имеем:
(3.9)
(3.10)
Обозначим 
, 
, получим уравнение для n=1:
(3.11)
Рассмотрим метод прогонки для решения системы, сотоящей из уравнений (3.5), (3.8), (3.11). Из уравнения (3.5) выразим U1,j+1:
|
|
|
(3.12)
, 
(3.13)
Запишем уравнение для i=2 (3.8) и подставим в него выражение (3.12) и выразим U2,j+1:
(3.14)
(3.15)
(3.16)
Продолжим этот процесс до i=n-1, получим:
(3.17)
Коэффициенты fi и giизвестны из граничных условий на первой границе f1 =U1,j и gi=0, их называют прогоночными коэффициентами, и мы можем их найти по возрастающей рекурсии вплоть до i=n-1. Можем записать:
(3.18)
Подставим выражение (3.18) в уравнение для второй границы (3.11) и выразим Un,j+1:
(3.19)
(3.20)
Теперь Un,j+1нам известна. Используя полученное выражение, определим Un-1,j+1из выражения (3.18) для всех i, включая i=1. Таким образомUш,j+1 мы определяем по обратной рекурсии от i+1 к i, в то время как fi и giопределяли по прямой рекурсии отi-1 к i. Такой метод расчета дает наименьшую погрешность.
