Определение рисков первого и второго рода при разбраковке стабилитронов

Стабилитроны разбраковываются по дифференциальному сопротивлению r. Задан односторонний допуск r _Д = 50 Ом (верхняя граница). Погрешность установки, которая осуществляет компарирование (сравнение) дифференциального сопротивления с допуском, принимается случайной и характеризуется равномерной плотностью вероятности с математическим ожиданием, равным нулю (за счет периодической подстройки), и полуразмахом 10 Ом.

Плотность вероятности разброса дифференциального сопротивления стабилитронов при их массовом производстве аппроксимируется несимметричным треугольным законом распределения. Асимметрия определяется отношением 1: 4 левой и правой сторон. Границы разброса равны 20 и 70 Ом.

Определить риски первого рода (изготовителя) и второго (потребителя) для данных условий производства и выходного контроля.

Решение

Обратимся к теоретическим предпосылкам.

При одностороннем допуске условная плотность вероятности контролируемого параметра забракованных стабилитронов определяется выражением:

где – плотность вероятности разброса дифференциальных сопротивлений при производстве с треугольным законом; – интегральная функция распределения погрешности средства контроля (измерений), смещенная на величину допуска

Вероятность ошибочного забракования годных стабилитронов (риск первого рода) определяется вычислением интеграла

Условная плотность вероятности контролируемого параметра стабилитронов, принятых годными, определяется выражением

Вероятность ошибочного решения о принятии годными в действительности негодных стабилитронов (риск второго рода) вычисляют по формуле

Для наглядности применим графоаналитический метод решения. Расчет вероятности, очевидно, не требует высокой точности.

Риск первого рода определяется следующим образом.

Строятся графики и в соответствующем масштабе на миллиметровой бумаге, вычисляются значения функций в нескольких точках; вычисляются их произведения в этих точках; строится график ; оценивается приближенно площадь под кривой в интервале [0; r _Д]. Описанная последовательность вытекает из формулы для определения P _ГБ.

Построим график плотности вероятности f (r).

Для треугольного закона распределения с известным размахом максимальное значение плотности (ордината вершины треугольника) определяется из условия, что площадь под кривой плотности (площадь треугольника) равна единице.

Тогда

Абсцисса вершины треугольника представляет собой моду распределения и равна 30 Ом (отношение 1:4 в диапазоне [20; 70] Ом).

График плотности вероятности f (r) треугольного распределения показан на рисунке 4.4

Рисунок 4.4 – К определению риска первого рода

Построим график функции распределения .

График функции строится так, что ее центр совпадает со значением допуска =50 Ом. Для равномерной плотности функция распределения F _К имеет вид линейно возрастающей от нуля до единицы. Так как известен полуразмах, равный 10 Ом, то функция отлична от нуля и единицы в диапазоне от 40 до 60 Ом.

В таблице 4.1 приведены расчетные значения плотности f и функции F для семи значений контролируемого параметра от 30 до 70 Ом через 5 Ом для определения риска первого рода.

Таблица 4.1

r, Ом	30	40	45	50	55	60	70
f, 1/Ом	0,04	0,03	0,025	0,02	0,015	0,01	0,00
F _К	0,00	0,00	0,25	0,5	0,75	1,00	1,00
f ^Б	0,00	0,00	0,006	0,01	0,011	0,01	0,00

Осуществив расчет произведений f (r) и в назначенных точках, получим значения условной плотности f ^Б(r). По этим значениям строим график (пунктир на рисунке 4.4). Проведя сечение на уровне допуска ( =50 Ом), получим две части графика.

Отношение площади заштрихованного участка к площади треугольника есть оценка вероятности (риск первого рода).

Последовательность определения риска второго рода аналогична: строятся графики и ; вычисляются значения функций; вычисляются их произведения; строится график ; оценивается приближенно площадь под кривой в интервале [ r _Д; ∞]. Последовательность соответствует формуле для определения вероятности P _БГ. Графики приведены на рисунке 4.5, а расчетные данные сведены в таблицу 4.2.