2020-04-12
131
Стабилитроны разбраковываются по дифференциальному сопротивлению r. Задан односторонний допуск r Д = 50 Ом (верхняя граница). Погрешность установки, которая осуществляет компарирование (сравнение) дифференциального сопротивления с допуском, принимается случайной и характеризуется равномерной плотностью вероятности с математическим ожиданием, равным нулю (за счет периодической подстройки), и полуразмахом 10 Ом.
Плотность вероятности разброса дифференциального сопротивления стабилитронов при их массовом производстве аппроксимируется несимметричным треугольным законом распределения. Асимметрия определяется отношением 1: 4 левой и правой сторон. Границы разброса равны 20 и 70 Ом.
Определить риски первого рода (изготовителя) и второго (потребителя) для данных условий производства и выходного контроля.
Решение
Обратимся к теоретическим предпосылкам.
При одностороннем допуске условная плотность вероятности контролируемого параметра забракованных стабилитронов определяется выражением:
|
|
|
,
где 
– плотность вероятности разброса дифференциальных сопротивлений при производстве с треугольным законом; 
– интегральная функция распределения погрешности средства контроля (измерений), смещенная на величину допуска 
Вероятность ошибочного забракования годных стабилитронов (риск первого рода) определяется вычислением интеграла
.
Условная плотность вероятности контролируемого параметра стабилитронов, принятых годными, определяется выражением
.
Вероятность ошибочного решения о принятии годными в действительности негодных стабилитронов (риск второго рода) вычисляют по формуле
Для наглядности применим графоаналитический метод решения. Расчет вероятности, очевидно, не требует высокой точности.
Риск первого рода определяется следующим образом.
Строятся графики 
и 
в соответствующем масштабе на миллиметровой бумаге, вычисляются значения функций в нескольких точках; вычисляются их произведения в этих точках; строится график 
; оценивается приближенно площадь под кривой в интервале [0; r Д]. Описанная последовательность вытекает из формулы для определения P ГБ.
Построим график плотности вероятности f (r).
Для треугольного закона распределения с известным размахом максимальное значение плотности (ордината вершины треугольника) определяется из условия, что площадь под кривой плотности (площадь треугольника) равна единице.
Тогда
.
Абсцисса вершины треугольника представляет собой моду распределения и равна 30 Ом (отношение 1:4 в диапазоне [20; 70] Ом).
График плотности вероятности f (r) треугольного распределения показан на рисунке 4.4
|
|
|
Рисунок 4.4 – К определению риска первого рода
Построим график функции распределения 
.
График функции строится так, что ее центр совпадает со значением допуска 
=50 Ом. Для равномерной плотности функция распределения F К имеет вид линейно возрастающей от нуля до единицы. Так как известен полуразмах, равный 10 Ом, то функция отлична от нуля и единицы в диапазоне от 40 до 60 Ом.
В таблице 4.1 приведены расчетные значения плотности f и функции F для семи значений контролируемого параметра от 30 до 70 Ом через 5 Ом для определения риска первого рода.
Таблица 4.1
| r, Ом | 30 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 70 |
| f, 1/Ом | 0,04 | 0,03 | 0,025 | 0,02 | 0,015 | 0,01 | 0,00 |
| F К | 0,00 | 0,00 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1,00 | 1,00 |
| f Б | 0,00 | 0,00 | 0,006 | 0,01 | 0,011 | 0,01 | 0,00 |
Осуществив расчет произведений f (r) и в назначенных точках, получим значения условной плотности f Б(r). По этим значениям строим график (пунктир на рисунке 4.4). Проведя сечение на уровне допуска (
=50 Ом), получим две части графика.
Отношение площади заштрихованного участка к площади треугольника есть оценка вероятности 
(риск первого рода).
Последовательность определения риска второго рода аналогична: строятся графики 
и 
; вычисляются значения функций; вычисляются их произведения; строится график 
; оценивается приближенно площадь под кривой в интервале [ r Д; ∞]. Последовательность соответствует формуле для определения вероятности P БГ. Графики приведены на рисунке 4.5, а расчетные данные сведены в таблицу 4.2.
Таблица 4.2
| r, Ом | 30 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 70 |
| f, 1/Ом | 0,03 | 0,025 | 0,02 | 0,015 | 0,01 | ||
| 1 –F К | 1,00 | 1,00 | 0,75 | 0,5 | 0,25 | 0,00 | 0,00 |
| f Г | 0,03 | 0,018 | 0,01 | 0,004 | 0,00 |
Рисунок 4.5 – К определению риска второго рода
Отношение площади заштрихованного участка к площади треугольника есть вероятность P БГ ≈ 0,025 (риск второго рода).
