Тема: «Системы уравнений»

Занятие: «Линейные системы»

Теоретический справочник

Определение:       Система уравнений с двумя переменными:  

       Решением данной системы уравнений является пара чисел (a, b), при подстановке которой в исходную систему получаются верные тождества:  

Исходная система уравнений допускает следующие тождественные преобразования:

Û

Û

Û

Примечание: Данные преобразования возможны, если a ¹ 0 и C ₂ ¹ 0. Аналогично можно преобразовать и второе уравнение системы.

Определение: Система вида  где  и , называются системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Система линейных уравнений:

• имеет единственное решение, если ;
• имеет бесконечное множество решений, если ;
• не имеет решений, если .

Решение системы уравнений:

Линейная система: (метод последовательного исключения переменной)

  Ответ: (2; 1)

Образцы решения заданий по теме «Линейные системы».

Задание №1. Найдите все значения a, при которых система  имеет единственное решение.

Образец решения:   . Система имеетединственное решение если

Ответ: .

Для решения используем следующие знания:

ü Система вида  имеет единственное решение, если .

ü Равносильность уравнений вида :  

Задание №2. Найдите все значения a, при которых система  имеет бесконечно много решений.

Образец решения:     Система имеет бесконечно много решений, если . Решим пропорцию

Ответ: .

Для решения используем следующие знания:

ü Система вида  имеет бесконечное множество решений, если .

ü Основное свойство пропорции: .

ü Основное свойство дроби: .

Задание №3. Найдите все значения a, при которых система  не имеет решений.

Образец решения:     Система не имеет решений, если . Решим пропорцию . Проверим выполнения условия  для каждого значения . При   выполняется условие .

Ответ: .

Для решения используем следующие знания:

ü Система вида  не имеет решений, если .

ü Основное свойство пропорции:

Занятие: «Нелинейные системы»