Выпуклость вверх и вниз. Решение неравенств по графику функции. Нахождение наибольших и наименьших значений по графику и аналитически

Мы уже с вами знаем много различных свойств функции – область определения, область значений, возрастание и убывание функции. Также к свойствам функции можно отнести и выпуклость графика вверх или вниз. Аналитически этого определить нельзя, можно только по графику. Выпуклость графика не зависит от возрастания или убывания функции. Это определяется визуально.

Например, на графиках, изображённых ниже, слева изображены графики, выпуклые вниз, а справа – выпуклые вверх.

Графики функций у=х² и  выпуклы вверх, а функции у= – х² выпуклый вниз.

Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль, называют нулями функции. Промежутки, в которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения, называют промежутками знакопостоянства.

Для решения неравенства у<0 по графику нужно найти промежутки области определения, при которых график расположен ниже оси ОХ, а для решения неравенства у>0 те, при которых график расположен выше оси ОХ.

Например, на графике, представленном ниже, решением неравенства у<0 (значения функции отрицательны) являются следующие промежутки: , а решением неравенства y≥0 (значения функции неотрицательны) промежуток .

На этом графике наибольшее значение функция принимает при х= –1. Ещё можно находить наименьшие и наибольшие значения функции, подставляя значения х в уравнение функции. Этот способ носит название аналитического.

У функции наибольшего значения нет, так как область определения функции [0;∞). Значение при х=∞ невозможно определить.

Тема 15. Свойства квадратных корней