2020-06-10
101
Алгоритм решения квадратных неравенств, содержащих квадратный трёхчлен
Если в левой части неравенства стоит квадратный трёхчлен, а в правой – нуль, то такое неравенство называют квадратным.
Квадратные неравенства можно решать двумя способами: графическим и методом интервалов.
В этом пункте рассмотрим графический способ решения или по-другому метод парабол.
Решение рассмотрим на конкретном примере. Решим неравенство x2 – 8x+12 ≥ 0.
Первый шаг всегда одинаков и прост. Знак неравенства на этом этапе нас совершенно не интересует. Делаем из неравенства уравнение: x2 – 8x+12 = 0
Решаем это уравнение. Решаем, как обычно, через дискриминант. Получаем корни:
х1= 2; х2= 6
Первый шаг сделан.
Второй шаг решения.
На этом шаге мы ничего решать не будем. Мы будем рисовать.
Знак неравенства и на этом этапе нас совершенно не интересует.
Итак, на первом шаге мы из неравенства сделали уравнение. Решили его. На втором шаге из уравнения сделаем параболу: y = x2 – 8x+12
Нарисуем эту параболу на графике. Вот такая она получится:
Точки 2 и 6 - это корни уравнения x2-8x+12 = 0. Они располагаются прямо на оси ОХ.
Корни уравнения - это иксы, при которых в правой части уравнения получается ноль. Стало быть, при таких иксах, и игрек нулевой будет. А нулевой игрек - это, как раз, ось ОХ и есть.
Фиксируем: корни уравнения (2 и 6) - это значения икса, при которых выражение x2 – 8x+12 равно нулю.
А теперь прикинем: при каких иксах выражение x2 – 8x+12 будет больше нуля? Как раз для такой прикидки нам и нужна парабола. Выражение x2 – 8x+12 и есть наш игрек. На графике чётко видно, где игрек больше нуля (положительный) и где он меньше нуля (отрицательный).
Если возьмём любую точку левее х=2, например х2, то соответствующий ему у2 будет положительный. Если возьмём точку х1 ещё левее, то пунктир пересечёт график далеко вверху, за пределами картинки, но игрек будет всё равно положительный.
Если мы возьмём икс правее точки х=6, скажем, х5, снова получим положительный у5.
Если же мы возьмём любую точку между х=2 и х=6, например х3 или х4 - мы получим соответствующие им отрицательные значенияу3 и у4.
По параболе сразу видно, при каких иксах наш игрек (а это выражение x2 – 8x+12) больше нуля, меньше нуля и равен нулю!
По параболе, визуально, мы мгновенно определили знаки выражения x2 – 8x+12 при различных иксах. Можно нарисовать вот такую картинку:
При всех иксах, которые меньше (левее) двойки, парабола проходит выше оси ОХ. Игрек при таких иксах - положительный, т.е. больше нуля. Следовательно, наше выражение x2-8x+12 при таких иксах больше нуля. Если мы убежим влево за рисунок, возьмём икс, равный минус сто миллионов, всё равно наше выражение будет больше нуля. Парабола - она бесконечная, и внезапно загибаться вниз не может.
Аналогичная картина получится, если мы возьмём любой икс, больше (правее) шестёрки. Эти области на графике отмечены знаком "плюс".
А вот если мы возьмём любой икс в промежутке между 2 и 6, получим игрек отрицательный. Следовательно, при таких иксах, наше выражение меньше нуля.
Вот, практически и всё.
На последнем шаге нужно вспомнить, что нам НЕ сказано было "решать уравнение"... НЕ сказано было "строить график"... Это, всего лишь, наши подручные средства.
Нам было сказано: решать квадратное неравенство!
Знак неравенства на этом этапе играет главную роль!
Смотрим на исходное неравенство: x2 – 8x+12 ≥ 0
Нам нужно найти все иксы, при которых выражение в левой части неравенство больше, либо равно нулю. Мы уже всё нашли. Смотрим на график и видим, что это условие выполняется в областях, где стоит знак "+", (игрек больше нуля) и в точках х=2 и х=6 (игрек равен нулю).
