2020-07-12
155
Примеры решения задач по физике для заочников
Задача 1. Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением l = 2 – 2 t + t 2,м.
Найдите: тангенциальное ускорение, полное ускорение и угол между нормальным ускорением и полным ускорением в момент времени t1 = 3 с, если нормальное ускорение в момент времени t 2= 2 с равно аn = 0,5 м/с2. Чему равен радиус кривизны траектории?
| Дано: l = 2 – 2 t + t 2, м t 1 = 3 с t 2= 2 с аn = 0,5 м/с2 | Найти: 1) R =? 2) аn=? аτ=? а=? 3) α =? |
Анализ:
Выполним рисунок, на котором покажем направления всех искомых величин и угол между нормальным и полным ускорением точки в некоторый момент времени.
Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости с течением времени, и оно равно второй производной от пути по времени или первой производной по времени от модуля линейной скорости движения точки.
Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости с течением времени, его величина равна 
, и направлено оно по радиусу к центру кривизны траектории.
Полное ускорение равно векторной сумме нормального и тангенциального ускорений.
Решение:
1. В этой задаче задана зависимость пройденного пути от времени, поэтому можно найти зависимость модуля линейной скорости от времени как производную от заданной функции по времени и вычислить численное значение скорости в любой момент времени:
Для момента времени t 2 = 2 с можно вычислить по полученной формуле величину скорости 
, и в этот же момент времени задана величина нормального ускорения 
Радиус кривизны траектории входит в формулу для вычисления нормального ускорения 
, отсюда 
2. Вторая производная от l позволяет получить выражение для величины тангенциального ускорения, в нашем случае
тангенциальное ускорение не зависит от времени.
Нормальное ускорение в момент времени t 1 = 3 с равно
Так как 
Величину полного ускорения можно найти, используя теорему Пифагора:
3. Из рисунка видно, что отношение величины тангенциального ускорения к величине нормального ускорения равняется тангенсу угла между векторами полного и нормального ускорений.
Ответ: 1) R = 8 м. 2) 
3) a = arctgl = 450
Задача 2. Тело массой т = 0,5 кг движется прямолинейно по оси ОХ, причем зависимость координаты х от времени задается уравнением
х = 5 – 3t + t2.
Найти:
а) расстояние l, которое пройдет тело за время t = 3 с;
б) силу, действующую на тело (Fx) в тот момент времени, когда тело остановится.
| Дано: т = 0,5 кг х = 5–3t+t 2, м | Найти: 1) =? остF 2) l =? |
Анализ:
Нам задана зависимость координаты движущегося тела от времени х = f(t). По определению ускорение является первой производной от скорости по времени или второй производной от координаты по времени.
Скорость равна первой производной от координаты по времени.
Таким образом, можно найти зависимости скорости и ускорения от времени и найти численные значения этих величин в любой момент времени.
При описании динамики движения тела нужно воспользоваться вторым законом Ньютона, записанным в проекции на ось О х:
Решение:
1. Найдем первую производную от заданной функции:
Получили зависимость скорости тела от времени.
Найдем зависимость ускорения от времени, для этого найдем производную от скорости:
Видим, что ускорение не зависит от времени, отсюда следует, что и сила является величиной постоянно й.
Определим время остановки.
Скорость тела в момент остановки обращается в ноль. Получим уравнение, приравняв скорость к нулю:
0 = – 3 +2 t, или 2 t = 3.
Корнем этого уравнения является t = 1,5 с.
Путь, пройденный телом, равен сумме модулей перемещений на отдельных участках движения.
В нашем случае до момента остановки движение происходило в одном направлении равнозамедленно, а после остановки тело двигалось в обратном направлении равноускоренно.
Поэтому путь будет равен
где перемещение тела до остановки Sx1 = х ост - x0;
х ост – координата точки в момент времени t ост, а х 0 – начальная координата тела.
Перемещение точки после остановки Sx2 = xкон - хос т,
где x кон – координата тела в момент времени t = 3 с.
Вычислим координату тела в момент остановки:
Далее определим координату точки в конечный момент времени t = 3 с:
х кон = 5 –3∙3,0 + (3,0)2 = 5 м.
Весь путь, пройденный за время t = 3 с, равен
Мы определили, что тело остановится в момент времени t ост = 1,5 с после начала движения и ускорение точки постоянное и равно ax = 2,0 м/с.
В этот момент времени сила будет равна Fx = тах = 0,5 ∙ 2,0 = 1,0 Н.
Ответ: 1) Fx = 1,0 Н. 2) l = 4,5 м.
Задача 3. Два тела массами m 1 = 1 кг и т 2 = 3 кг движутся навстречу друг другу вдоль горизонтального направления и перед столкновением имеют скорости V 1 = 2 м/с и V 2 = 1 м/с.
Считая удар центральным и неупругим, найдите:
1. Какая часть механической энергии перешла в другие виды энергии при ударе?
2. Какое время будут двигаться тела после удара до остановки, если коэффициент трения тел о поверхность равен μ = 0,2?
| Найти:
1) 
2) t =?
|
Анализ:
При центральном и неупругом ударе движение тел происходит только вдоль линии, проходящей через центры масс тел, и тела после удара будут двигаться как единое целое со скоростью U.
1. Сделаем рисунок к этой части задачи:
Достаточно выбрать одну ось координат ОХ.
Будем считать, что после удара тела будут двигаться в положительном направлении оси ОХ.
При ударе тела взаимодействуют только между собой, поэтому система тел является замкнутой.
В случае неупругого удара внутри системы действуют силы деформации, которые являются неконсервативными силами. Таким образом, система тел является замкнутой, но неконсервативной. Для такой системы тел применим только закон сохранения импульса. Механическая энергия системы не сохраняется, часть ее расходуется на деформацию и нагревание тел при ударе, поэтому
Решение:
Все движения происходят вдоль горизонтальной оси, следовательно, потенциальная энергия тел не изменяется.
Можно выбрать нулевой потенциальный уровень в том месте, где движутся тела, и величина потенциальной энергии тел будет равна нулю относительно такой системы отсчета.
До взаимодействия энергия системы складывается из кинетической энергии тел:
После удара их кинетическая энергия стала равна:
Для определения скорости тел после удара можно применить закон сохранения импульса, так как система тел является замкнутой
В проекции на ось ОХ получим
где иx – проекция скорости движения тел после столкновения.
Отсюда выразим проекцию скорости иx
Поскольку получили u < 0, это значит, что направление выбрано неверно и тела движутся в другую сторону со скоростью u = 0,25 м/с.
Тела имеют отрицательную проекцию скорости на ось ОХ после удара, т. е. будут двигаться в ту же сторону, что и второе тело до удара.
Найдем, какая часть механической энергии перешла в тепло и энергию деформации при ударе.
Убыль механической энергии равна количеству теплоты, которое выделилось при ударе:
Подставим значение скорости и и приведем к общему знаменателю:
Доля потерянной механической энергии от начального значения энергии тел составляет
Ответ: мы получили, что 96 % механической энергии при неупругом ударе в этом случае переходит в другие виды энергии.
2. Найдем ответ на второй вопрос задачи.
Время движения тел после удара до остановки можно определить, используя второй закон Ньютона в импульсной форме
Система тел после удара является незамкнутой, так как на тела во время движения действует сила трения – внешняя сила. Она изменяет импульс системы:
Сила трения скольжения
где 
,
ее проекция на ось ОХ отрицательная.
Изменение импульса тел при движении до остановки в проекции на ось ОХ равно
Из закона Ньютона, записанного в проекции на ось ОХ, можно получить выражение для вычисления времени движения тел до остановки:
Ответ: 1) 
2) ∆t = 0,51 с
