Тема - Постоянный электрический ток. Электромагнетизм

Задача 1. Определите заряд Q, прошедший по проводнику с сопротивлением R = 3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах проводника от U ₀= 2 В до U = 4 В в течение t = 20 с.

Дано: R = 3 Ом U 0 = 2 В U = 4 В t = 20 с

Найти: Q –?

Анализ:

По условию задачи сила тока в проводнике изменяется с течением времени, поэтому необходимо воспользоваться определением мгновенного тока, а не среднего.

Кроме того, необходимо применить при решении задачи закон Ома для однородного участка цепи. Все это позволит нам выразить тот заряд, который проходит по проводнику за малый интервал времени dt. Проинтегрировав полученное выражение, найдем искомый заряд.

Решение:

По определению мгновенная сила тока равна .

Отсюда выразим дифференциал заряда и проинтегрируем это уравнение:

(1)

Силу тока выразим из закона Ома для однородного участка цепи , с учетом этого получим

(2)

Напряжение U на концах проводника в данном случае переменное. Поскольку нарастает напряжение равномерно, то его зависимость от времени является линейной функцией времени и может быть выражена формулой

U = U o + kt, (3)

где k – коэффициент пропорциональности.

Подставим это выражение в формулу (2) и получим

Проинтегрировав, получим

Значение коэффициента пропорциональности k можно найти из формулы (3), если подставить в это выражение значения входящих в формулу величин.

Задано, что при t = 20 с U = 4 В, а при t₀ = 0 с U₀ = 2 В.

Подставив все известные значения величин в формулу для определения искомого заряда(4), найдем

Ответ: Q = 140 Кл

Задача 2. Вольфрамовая нить электрической лампочки при t ₁ = 20⁰С имеет сопротивление R ₁ = 35,8 Ом.

Какова будет температура t ₂ нити лампочки, если при включении в сеть напряжением U = 120 В по нити идет ток I = 0,33 A? Температурный коэффициент сопротивления вольфрама α = 4,6∙16^-3 К^-1.

Дано: t 1 = 20⁰C R 1 = 35,8 Ом U = 120 B I = 0,33 A α = 4,6 10^-3 K^-1

Найти: t 2 =?

Анализ:

В данной задаче рассматривается нагревание проволочки из вольфрама при протекании по ней электрического тока.

По закону Джоуля–Ленца при прохождении тока по проводнику в проводнике выделяется некоторое количество теплоты, которое идет на нагревание проводника. При увеличении температуры проводника его сопротивление линейно возрастает с температурой: R = R 0 (l + α t), где α температурный коэффициент сопротивления материала проводника.

Решение:

Запишем температурную зависимость сопротивления проводника два раза для двух температур t 1 и t 2:

где R 0 – сопротивление проводника при t = 0⁰С; α температурный коэффициент сопротивления для вольфрама. Его значение задано.

Решая систему уравнений, находим выражение для определения R 2:

так как

и эти выражения можно приравнять, то получим

С другой стороны, по закону Ома для участка цепи имеем

Приравняв два полученных выражения для сопротивления _R ₂, после алгебраических преобразований получаем формулу для вычисления температуры t ₂:

Вычислим искомую температуру

Ответ: температура нити t ₂ = 2411⁰С.

Задача 3. ЭДС батареи ε = 120 В, сопротивления R ₃ = 30 Ом, R ₂ = 60 Ом. Схема цепи приведена на рисунке. Амперметр показывает ток I = 2 А.

Найти мощность, выделяемую в сопротивлении R ₁. Сопротивлением источника можно пренебречь.

Дано: ε = 120 В R 3 = 30 Ом I = 2 A R 2 = 60 Ом

Найти Р -?

Анализ:

Цепь, заданная в этой задаче, содержит и последовательное, и параллельное соединение сопротивлений. Ток, который показывает амперметр, протекает через сопротивление R ₃ и источник тока, а затем делится на два тока: I = I ₁ + I ₂.

Для того чтобы найти мощность, выделяемую в сопротивлении R ₁, необходимо найти сопротивление R ₁ и силу тока на этом участке цепи I ₁.

Для решения задачи необходимо использовать закон Ома для замкнутой цепи, формулы для вычисления сопротивления параллельно и последовательно соединенных сопротивлений, а также формулу для вычисления мощности тока.

Решение:

Мощность, выделяемая в сопротивлении R 1, равна

Соединение сопротивлений R 1 и R 2 параллельн ое, тогда общее сопротивление этого участка будет равно

Закон Ома для замкнутой цепи:

или

В этом уравнении неизвестно только сопротивление R 1. Найдем это сопротивление из полученного уравнения

Значение сопротивления R 1 = 40 Ом.

Ток в первом узле делится на два тока: I = I 1 + I 2.

Падения напряжения на сопротивлениях R 1 и R 2 будут одинаковые, так как соединение сопротивлений параллельное:

Тогда запишем:

Учитывая численные значения сопротивлений, получим

Общий ток складывается из двух токов:

или ток, текущий по сопротивлению R 1, равен

Мы определили величину сопротивления R ₁ и силу тока I ₁, текущего в этом проводнике. Зная эти величины, можно вычислить мощность, выделяющуюся на сопротивлении R 1:

Ответ. На сопротивлении R 1 выделяется мощность Р = 57,6 Вт.

Законы Кирхгофа

Порядок решения задач на законы Кирхгофа

1. Нарисовать схему цепи. На рисунке выбрать и показать направления токов на всех участках цепи, при этом надо учесть, что в узел токи не могут только входить или только выходить из узла. Это следует из первого закона Кирхгофа.

2. Выбрать замкнутые контуры обхода для применения второго закона Кирхгофа. Показать на рисунке направление обхода по контуру. Контуров может быть несколько. Число независимых уравнений, которые можно составить по второму закону Кирхгофа, меньше, чем число контуров. Для того чтобы составить необходимое число независимых уравнений, надо придерживаться следующего правила: выбирать контуры так, чтобы в каждый новый контур входил хотя бы один участок цепи, которого бы не было ни в одном из ранее рассмотренных контуров.

3. Используя первый закон Кирхгофа, можно написать (n – 1) уравнений, где n - число узлов в рассматриваемой цепи.

4. Воспользоваться вторым законом Кирхгофа и записать такое число уравнений, чтобы число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, равнялось числу неизвестных величин в задаче. При этом надо учитывать следующее правило знаков: падение напряжения на каждом участке записывается со знаком «+», если направление обхода по этому участку совпадает с направлением тока на нем. И наоборот, если обход совершался по этому сопротивлению обратно направлению тока, то ставится знак «-».

ЭДС записывается со знаком «+» в том случае, когда направление обхода совпадает с направлением поля сторонних сил в источнике тока и наоборот.

Поле сторонних сил внутри источника всегда направлено от отрицательного полюса к положительному.

5. Решить полученную систему уравнений и найти искомые величины. В результате решения полученной системы уравнений определяемые величины могут получаться отрицательными. Отрицательное значение тока указывает на то, что фактическое направление тока на данном участке цепи обратно тому, которое мы выбрали.

Задача 1. Два элемента с одинаковыми ЭДС ε₁ = ε₂ = 2В и внутренними сопротивлениями r ₁ = 1 Ом, r ₂ = 2 Ом замкнуты на внешнее сопротивление R. Через первый элемент течет ток I ₁ = 1 А.

Найдите сопротивление R, ток I ₂, текущий через второй элемент, и ток I, текущий через сопротивление R. Схема соединения показана на рисунке.

Дано: ε₁ = ε₂ = 2В r 1 = 1 Ом r 2 = 2 Ом I₁ = 1 A

Найти: I₂ =? R =? I =?

Решение:

1. Выберем направления токов на всех участках цепи так, как показано на рисунке. Видим, что в узлах 1 и 2 есть входящие и есть выходящие токи, значит, направления токов выбраны разумно.

2. Выберем контуры обхода и покажем направления обхода по ним. Контуров выбрали два и нарисовали направления обхода по ним.

3. Составим уравнение, используя первый закон Кирхгофа. Узлов два, поэтому можно составить только одно уравнение, например для первого узла:

I 1 + I 2 - I = 0.

Токи ,входящие в узел, пишем со знаком «+», а выходящие со знаком «–». Уравнение для второго узла будет тождественно первому

4. Применим второй закон Кирхгофа для первого контура обхода.

Падение напряжения на всех участках этого контура пишем со знаком «+», так как направление обхода на всех участках совпадает с направлением тока на этих участках.

В этот контур входит только один источник тока ε1, и направление обхода по контуру совпадает с направлением поля сторонних сил, так как силы этого поля направлены от отрицательного полюса к положительному, т.е. вниз.

Запишем уравнение