ОДУ с разделяющимися переменными

Уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде   или

Замечание. Уравнения вида  приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой .

Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

19.3.1. Решить уравнение .

Решение. .

Делим обе части уравнения на , получим , интегрируем

 - общее решение данного уравнения. При делении выражения на  могло быть потеряно решение , но оно входит в общее решение при .

Ответ: .

19.3.2. Решить уравнение

Решение. Приведём уравнение к виду: .

Делим обе части уравнения на выражение , получим            

Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:     

При делении выражения на  могли быть потеряны решения  и  т. е.  Очевидно, решение уравнения, а нет. Ответ: ; .

19.3.3. Решить уравнение

Решение. Обозначим , тогда  

Подставляя  и  в данное уравнение, получим: , откуда сле­дует         

.

Возвращаясь к старым переменным, получим:

 — общий инте­грал уравнения. Учитывая начальное условие, получим частный инте­грал: . Ответ: .

19.3.4. Решить уравнение .

Решение. Разделим обе части уравнения на , получим . При делении на  могло быть потеряно решение . Но это решение получается из общего решения при . Ответ: .   

19.3.5. Решить уравнение ;

Решение.

С учетом начального условия получим

Ответ: .