19.4.1. 19.4.2. 19.4.3 19.4.4. 19.4.5. 19.4.6. 19.4.7.
Ответы. 19.4.1. и 19.4.2.
19.4.3. 19.4.4. 19.4.5.
19.4.6. 19.4.7.
19.5. Однородные уравнения. Решения типовых задач
Однородные уравнения могут быть записаны в виде а также в виде где и — однородные функции одной и той же степени. (Функция называется однородной функцией степени , если для всех имеем ) Чтобы решить однородное уравнение, можно сделать замену после чего получается уравнение с разделяющимися переменными.
19.5.1. Решить уравнение
Решение. Это однородное уравнение. Пусть Тогда Подставляя в уравнение, получим
Возвращаясь к старому переменному запишем Кроме того, имеется решение которое было потеряно при делении на
Ответ: .
19.5.2. Решить уравнение
Решение. Подставляем в уравнение ; сокращая на , получим:
Разделяя переменные и затем интегрируя, имеем:
Переходя к старым переменным, получим окончательный ответ: .
19.5.3. Решить уравнение
Решение. Проведём замену и подставим ее в уравнение: . Разделяя переменные и интегрируя, запишем
. Возвращаясь к старым переменным, получим ответ:
Уравнение вида приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых и заменой . Если же эти прямые не пересекаются, то следовательно, уравнение имеет вид и приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой см. замечание в п. 19.2 и пример 19.3.3.
19.5.4. Решить уравнение
Решение. . Это уравнение, приводящееся к однородному с помощью параллельного переноса осей координат: Решая систему линейных уравнений , найдём: .
Отсюда — однородное уравнение. Проводим известные уже замены Возвращаясь к старым переменным, получим окончательный ответ
19.5.5. Решить уравнение
Решение. подставим в уравнение: . Разделяя переменные и интегрируя, после возвращения к старым переменным, получим ответ
Задачи для самостоятельного решения
ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ
19.6.1. 19.6.2.
19.6.3. 19.6.4. 19.6.5. 19.6.6.
Ответы. 19.6.1. 19.6.2.
19.6.3. 19.6.4. 19.6.5. 19.6.6.