Системы линейных уравнений

Алгебра матриц

       Матрицей размера x  называется таблица их m строк и n столбцов.

       Если , тогда матрица называется квадратной, в ее элементы  – главной диагональю. Вторая диагональ называется побочной.

       Верхнетреугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны 0.

       Единичная матрица  – квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, а остальные равны 0.

 

Операции над матрицами

Сложение матриц.

Суммой двух матриц A и B размерами x  называется матрица C, у которой все элементы равны сумме элементов матриц, участвующих в сложении.

Умножение матрицы на число.

Умножением матрицы A на число  называется матрица C, у которой все элементы равны результату произведения элементов матрицы A на число .

Транспонирование.

Транспонированием матрицы A называется матрица , которая получена преобразованием всех строк в столбцы с тем же номером

Умножение матриц.

Умножением матриц A и B размерами x  и x  соответственно называется матрица C, у которой все элементы равны соотношению

       Свойства операций.

1. .

2. Для каждой нулевой матрицы размера x  и матрицы , где N – нулевая матрица (все элементы равны 0).

3. .

4. .

5. , где  и  – числа.

6. Если существует результат произведения , тогда не всегда существует .

7. Если A и B квадратные, тогда .

8. .

9. .

10. .

 

Определитель матрицы

Минора  квадратной матрицы A называется определитель матрицы, которая получается из матрицы A удалением i-ой строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением к элементу  матрицы A называется число

       Определитель матрицы (детерминант) – скалярная величина, которая может быть вычислена и поставлена в однозначное соответствие любой квадратной матрице. Определитель матрицы A обозначается как ,  или .

Данная формула является разложением матрицы A по первой строке. Определитель можно находить по формуле аналогичной, указанной формуле, раскладывая по любой строке или столбцу.

       Определитель матрицы A размером 2x2 называется число

       Определитель матрицы A размером 3x3 называется число

Формулы для случаев 2x2 и 3x3 считают тоже число, что и общая формула для нахождения определителя.

Теорема: Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

       Свойства определителя

1. .

2. Если у матрицы поменять местами две строки, то определитель поменяет знак.

3. Если в матрице есть строка или столбец из нулей, то ее определитель равен нулю.

4. Если у матрицы две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то ее определитель равен нулю.

5. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя.

6. Если к строке матрицы прибавить или вычесть другую строку, помноженную на любое число, то определитель не изменится.

7. .

 

Обратные матрицы

       Пусть задана квадратная матрица , тогда матрица  называется обратной, если выполняется равенство . Если A и B являются обратными матрицами, тогда , таким образом, обратная матрица существует, только если у исходной матрицы .

       Если , тогда матрица A называется вырожденной.

       Если A – невырожденная матрица, тогда у нее существует обратная матрица , которую можно найти по формуле

В данной формуле  – матрица из алгебраических дополнений (присоединенная матрица) для элементов матрицы A.

 

Системы линейных уравнений

       Системой из m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

В данном соотношении  – неизвестные,  – коэффициенты при неизвестных,  – свободные коэффициенты.

       Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы. При добавлении в матрицу системы свободные коэффициенты будет получена расширенная матрица системы.

       Набор из n чисел  называется решением системы, если при подстановке этих чисел в систему ее уравнения обратятся в верные равенства. Решить систему – найти все возможные значения набора из n чисел  заданной системы, обладающие вышеуказанным свойством.

 

Метод Крамера

Теорема: Если у системы из n линейных уравнений с n неизвестными матрица системы невырожденная, тогда у системы существует единственное решение, которое можно найти следующим образом

В данной формуле  – матрица, полученная из A заменой i-го столбца на столбец свободных коэффициентов b.

 

Матричный метод

       Если ввести столбец неизвестных  и столбец свободных коэффициентов , тогда матричное уравнение

Равносильно системе уравнений

       В случае, когда m=n и A – невырожденная матрица, тогда решение системы в матричном виде прите вид

 

Метод Гаусса

       Элементарными называются преобразования матрицы

1. Поменять местами две строки.

2. Умножить строку на число, отличное от 0.

3. Прибавить или вычесть из строки другую строку, умноженную на любое число.

Элементарные преобразования расширенной матрицы системы приводят к эквивалентной системе, у которой остаются те же решения. Элементарные преобразования относятся только к строчкам матрицы.

       Ступенчатая матрица – матрица, у которой все ненулевые строки располагаются над всеми чисто нулевыми строками и ведущий элемент каждой ненулевой строки располагается строго правее ведущего элемента в строке, расположенной выше данной. Верхнетреугольная матрица – частный случай ступенчатой матрицы.

       Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований

1. Ставим на место первой строки строчку, начинающуюся не с 0.

2. С помощью первой строки обнулим все элементы первого столбца.

3. Повторяем действия 1 и 2 для каждой последующей строки и столбца без учета уже нулевых столбцов и использованных строк.