Способы задания функции

1 2 3 4 5 6 7

Математический анализ

Тула

ТППО
2019

ББК: 74.489

И85

Рецензент:

кандидат физико-математических наук, доцент О. А. Пихтилькова

(Оренбургский государственный университет);

кандидат физико-математических наук, доцент В.В.Носов

(Оренбургский государственный университет);

Р60

Математический анализ/ Сост. Н.М. Исаева, Н.В.Мыслик, Е.М. Рарова, О. В. Родионова, Л.Д. Ситникова, Н.В. Сорокина. – Тула: ТППО, 2019. – 75 с.

Настоящее пособие предназначено студентам педвузов, обучающимся по направлению 44.03.01 Педагогическое образование (профиль «Информатика») для изучения дисциплины «Математический анализ» и по направлению 44.03.01 Педагогическое образование (профиль «Математика») при изучении дисциплин «Введение в математический анализ», «Дифференциальное исчисление» и «Интегралы и ряды». Пособие может использоваться при изучении дисциплины «Теория функций одной переменной» студентами, обучающимися по направлению 44.03.05 Педагогическое образование (профили «Физика» и «Математика», «Физика» и «Астрономия). В пособии подробно рассмотрены такие разделы, как введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной, а также неопределённый интеграл и определённый интеграл. Приведены примеры, варианты самостоятельных работ, дополнительные задания по перечисленным разделам.

ББК 74.489

Учебно-методическое пособие

Математический анализ

Составители:

Исаева Нина Магомедрасуловна

МЫСЛИК Надежда Владимировна

РАРОВА Елена Михайловна

РОДИОНОВА Ольга Владимировна

СИТНИКОВА Людмила Дмитриевна

СОРОКИНА Наталия Владимировна

Печатается с авторского оригинал-макета.

Подписано в печать 24.11.2019. Формат 60´90/16.
Бумага офсетная. Печать трафаретная.
Усл. печ. л. 5. Уч.-изд. л. 5,95. Тираж 100 экз.

ООО «Тульское производственное полиграфическое объединение».
300600, Тула, ул. Каминского, 33.

©	Сост.: Н.М. Исаева, Н.В.Мыслик, Е.М. Рарова, О. В. Родионова, Л.Д. Ситникова, Н.В. Сорокина, 2019

СОДЕРЖАНИЕ

РАЗДЕЛ 1.

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

тема 1.

ФУНКЦИЯ

тема 2.

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

тема 3.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

тема 4.

СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

тема 5.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

РАЗДЕЛ 2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

тема 6.

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

тема 7.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНЫЕ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

тема 8.

ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

тема 9.

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

РАЗДЕЛ 3.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

тема 10.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

тема 11.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

тема 12.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

РАЗДЕЛ 4.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

тема 13.

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА

тема 14.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

тема 15.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

РАЗДЕЛ 5.

варианты контрольных работ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Тема 1. ФУНКЦИЯ

Определение 1. Функцией (или отображением) из множества X в множество Y будем называть правило f, по которому каждому элементу из множества X соответствует единственный элемент из множества Y.

Элемент называется образом элемента x при отображении f.

Определение 2. Если , , то функцию f называют действительной функцией действительной переменной.

Множество называют областью определения функции f, множество называют множеством значений функции f, называют аргументом функции f, а – значением функции f в точке x ().

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ

1) аналитический;

2) графический;

3) табличный;

4) описательный.

1) аналитический способ: наиболее часто функцию задают с помощью формулы (, ). Под областью определения в этом случае естественно понимать множество всех значений x, для которых определено значение выражения .

Пример:

2) графический способ:

Определение. Графиком функции называется множество точек координатной плоскости.

Замечание. Некоторое множество координатной плоскости является графиком некоторой функции, если это множество имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси OY.

Наиболее важными при рассмотрении графика функции являются две задачи:

1) функция f задана аналитически. Требуется исследовать свойства этой функции и построить её график (часто это эскиз графика).

Пример:

1) – можно построить график точно;

2) – можно построить эскиз графика.

2) функция f задана графически. Требуется определить основные свойства функции, т.е. «прочитать» график.

3) табличный способ:

x	1	2	3	4
y			1

4) описательный способ:

В случаях, когда формулу, по которой каждому ставится в соответствие , записать трудно (или невозможно), пользуются словесным описанием способа, задающего функцию.

Пример:

Каждому действительному числу x ставится в соответствие наибольшее целое число, не превосходящее x. Эта функция называется целой частью x и обозначается .