Классификация точек разрыва

10 11 12 13 14 15 16

1. точки устранимого разрыва;

2. точки разрыва первого рода (скачки);

3. точки разрыва второго рода.

1. Примеры:

- точка разрыва,

, функция не определена в точке .

Продолжим функцию до непрерывности:

функция непрерывна в точке .

, тогда точка является точкой разрыва.

Переопределим значение функции в точке , чтобы функция стала непрерывной: .

Определение 2. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если существует , но или значение функции в точке не задано.

2. Определение 3. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если существуют конечные односторонние пределы и , но они различны, следовательно, не существует.

Пример:

- точка разрыва,

следовательно, - точка разрыва первого рода.

3. Определение 4. Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

Примеры:

Рассмотрим точку .

, ,

следовательно, - точка разрыва второго рода.

, ,

- точка разрыва второго рода.

, следовательно, прямая является горизонтальной асимптотой графика функции .

- не существует;

- не существует.

- точка разрыва второго рода.

Свойства функций, непрерывных в точке.

Теорема 1. Сумма (разность) конечного числа функций, непрерывных в точке , есть функция, непрерывная в точке .

Теорема 2. Произведение конечного числа функций, непрерывных в точке , есть функция, непрерывная в точке .

Теорема 3. Частное двух функций, непрерывных в точке , есть функция, непрерывная в этой точке, если значение функции, стоящей в знаменателе, отлично от нуля в точке .