Определение производной

 

Определение производной. Пусть задана функция ,  и пусть  - некоторая точка интервала . Предел

называется производной функции  в точке  и обозначается  (если последний предел существует). Таким образом, по определению,

Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция , , имеющая в каждой точке интервала  производную, называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием.

Обозначение производной функции :

Если ввести приращение аргумента  и приращение функции , определение производной запишется в виде

Так как  - произвольное значение аргумента, то можно обозначить его как x. Тогда получаем

Примеры:

1) Дана функция , найдите её производную.

Решение.

а) , ,

б)

в)

Таким образом, .

2) Найдите производную функции .

Решение.

а) , ,

б)

в)

 

Непрерывность дифференцируемой функции

 

Докажем необходимое условие существования производной.

Теорема. Если функция  имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство: По определению производной  

Тогда по свойству предела функции получаем , где . Отсюда

.

Находим предел функции  при :

.

Отсюда по определению функция  непрерывна в точке .

Замечания: 1) В точках разрыва функция не имеет производной.

2) Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в рассматриваемой точке, т.е. из непрерывности функции в точке не следует её дифференцируемость в этой точке.

Пример: Пусть , .

Функция  непрерывна в точке , так как .

Найдём .

Рассмотрим односторонние пределы:

;     .

Отсюда  не существует, т.е. функция  не имеет производной в точке .