Доказательство достаточности

1. Пусть последовательность удовлетворяет условию Коши, т.е. : . Надо доказать, что последовательность сходится к числу а.

2. Возьмем .

3. Тогда , что и выполняется неравенство

4. В частности, если , а , то будет выполняться неравенство или при .

5. Это означает, что последовательность с номерами: , , , , , … ограничена.

6. Согласно теореме, если последовательность ограничена, то она сходи-тся, т.е. имеет предел, например, а: .

7. Тогда для () при выполняется неравенство:

[29].

Бесконечно малые последовательности

Определение №1. Последовательность называется бесконечно малой, если она имеет предел, равный 0, т.е. .

Определение №2. Последовательность будет бесконечно малой, если будет выполняться неравенство .

– бмп .

Замечание. Характерным для бесконечно малой последовательности является то, что она своим пределом имеет 0, а не то насколько малые значения она принимает.

Пример. Дана последовательность . Она принимает значения: 100⁸;100⁶;100⁴;100²;1; ; ; ; ;…..Эта последовательность является бесконечно малой, так как , хотя значения отдельных элементов очень велики.