Операции над функциями

Определение №1. Функции, принимающие числовые значения называются числовыми функциями.

Над числовыми функциями можно выполнять различные арифметические операции: если даны две числовые функции и , определенные на одном и том же числовом множестве , то

1) Функция определяется как функция, принимающая в каждой точке значение , где .

2) Функция определяется как функция, принимающая в каждой точке значение .

3) Функция определяется как функция, принимающая в каждой точке значение .

4) Функция определяется как функция, принимающая в каждой точке значение при .

Определение №2. Функция, все значения которой равны между собой называется постоянной и обозначают .

Ограниченные сверху, снизу и ограниченные функции

Определение №1. Функция , определенная на некотором множестве , называется ограниченной сверху на этом множестве, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство: .

Определение №2. Функция , определенная на некотором множестве , называется ограниченной снизу на этом множестве, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство .

Определение №3. Функция , ограниченная сверху и снизу на множестве , называется ограниченной на этом множестве.

Очевидно, что функция ограничена на множестве тогда, когда существует такое число , что для любого выполняется неравенство или .

Верхняя и нижняя грани функции

Определение №1. Верхняя грань множества значений числовой функции , определенной на множестве , называется верхней гранью функции . Обозначение: или .

Определение №2. Нижняя грань множества значений числовой функции , определенной на множестве , называется нижней гранью функции . Обозначение: или .