Доверительный интервал коэффициента корреляции

Если достоверность коэффициента корреляции доказана, с помощью его ошибки репрезентативности можно определить доверительный интервал, в пределах которого с определенной доверительной вероятностью находится коэффициент корреляции генеральной совокупности (ρ). Доверительный интервал коэффициента корреляции определяют на основе z -преобразования.

Для этого вначале преобразуют «r» в «z» по специальной таблице, затем определяют доверительный интервал для «z» (это делается по причине того, что распределение величин «r» асимметрично):

Далее преобразуют левое и правое значения доверительного интервала для «z» обратно в «r» по той же таблице и получают окончательный доверительный интервал для «r».

Пример 6. Определить доверительный интервал для r =0,34 (N =60).

Решение.

1. Преобразуем «r» в «z» по специальной таблице: r → z =0,34→0,35.

2. Вычисляем ошибку «z»:

3. Определяем доверительный интервал для «z»:

4. Преобразуем левое и правое значения доверительного интервала для «z» обратно в «r»:

z =0,10→ r =0,10;

z =0,60→ r =0,54

5. Определяем доверительный интервал для «r»:

Определение достоверности разницы между «r» разных выборок

Достоверность разницы между двумя коэффициентами корреляции из разных выборок оценивается с помощью параметра «z» и критерия Стьюдента:

Последовательность расчетов следующая:

1) преобразование «r ₁» и «r ₂» в «z₁» и «z₂» по специальной таблице;

2) вычисление ошибок «m _z1» и «m _z2»;

3) вычисление эмпирического значения критерия Стьюдента;

4) определение t₀₅ для df = N ₁ + N ₂ - 2;

5) формулировка статистического вывода.

Пример 7. У двух сортов вишни изучали корреляцию между массой плода и массой косточки. У первого сорта (N =5) был получен r =0,87. У второго (N = 12) r =0,56. Различаются ли эти коэффициенты корреляции?

Решение:

1. Переводим значение r первого сорта в z =1,33

2. Вычислим ошибку z:

3. Переводим значение r второго сорта в z =0,63

4. Вычислим ошибку z:

5. Вычислим значение критерия Стьюдента:

6. Определим по таблице значение критерия Стьюдента: t _{05 (df=N1+N2-2=15)}=2,13

7. Сравним эмпирическое значение критерия Стьюдента с теоретическим: t =1,25< t ₀₅ =2,13

Вывод: нулевая гипотеза принимается, коэффициенты корреляции у двух сортов вишни достоверно не различаются.

Практическое задание 8.1.. Изучали высоту косточки (х) и высоту плода (у) у сливы домашней сорт «Венгерка московская» (мм):

х	15	16	15	15	16	16	17	18	18	17	17	17	15	16	15	15	15	14
у	29	31	32	33	32	33	33	36	36	35	35	35	35	33	31	32	31	31
х	15	15	17	15	13	15	14	17	15	16	15	15	14	15	15	13	15	16
у	31	31	35	33	30	32	31	35	33	33	32	30	31	31	33	30	30	33
х	16	15	16	15	16	18	17	14	15	15	16	18	15	14	17	15	15	14
у	33	33	33	30	31	34	34	31	33	32	33	35	32	32	35	32	31	30
х	15	15	15	14	15	15	15	17	15	17	15	14	15	18	17	17	18	17
у	33	31	32	30	31	31	32	35	31	36	33	33	33	35	36	34	35	33
х	14	15	14	17	16	17	18	18	16	16	17	17	16	16	17	16	16	15
у	30	33	32	32	34	34	34	35	35	33	34	33	35	33	33	33	33	34

Вычислите коэффициент корреляции Пирсона, оцените его достоверность, определите доверительный интервал.

Решение: