Основные уравнения электрических цепей в комплексной форме

Мощность

Проводимости

Сопротивления

Напряжения и токи

Выражение характеристик электрических цепей комплексными числами

Комплексы синусоидально изменяющихся величин принято отмечать точками над их буквенными обозначениями (например, комплексы напряжения Ů, тока İ). Комплексы величин, не зависящих от времени (например, сопротивлений, проводимостей), обозначают большими буквами без точек, но с черточкой внизу: Z, Y.

Этому напряжению соответствуют вектор Uв комплексной плоскости и комплексное число в показательной форме

Ů= U

Ток i ₁в катушке отстает от напряжения на угол j₁

Вектору тока I₁соответствует комплексное число

İ₁=I₁

Ток в конденсаторе опережает напряжение на угол j₂.

;

İ₂=I₂

İ= İ₁+İ₂ по правилу параллелограмма

Сложение этих векторов в других формах

İ + (

I

Действительная и мнимая части комплекса тока равны проекци­ям вектора тока на оси комплексной плоскости.

Действительная и мнимая части комплекса тока равны соответственно активной и реактивной составляющим век­тора тока только в том случае, если вектор напряжения направлен вдоль оси действительных чисел, т.е. комплекс напряжения выра­жается действительным числом.

.

- угол сдвига фаз между напряжением и током пер­вой ветви.

Выразим комплекс сопротивления катушки в тригонометриче­ской и алгебраической формах:

Из приведенных рассуждений следует:

· Активное сопротивление в комплексной форме выражается действительным положительным числом.

· Реактивные сопротивления в комплексной форме выражаются мнимыми числами, причем индуктивное сопротивление (X_L) поло­жительно, а емкостное (Х_с) отрицательно.

· Полное сопротивление участка цепи при последовательном со­единении Rи X выражается комплексным числом, действительная часть которого равна активному сопротивлению, а мнимая часть — реактивному сопротивлению этого участка.

Результаты этих преобразований показывают, что полная прово­димость ветви электрической цепи в комплексной форме выражает­ся комплексным числом, действительная часть которого равна ак­тивной проводимости, а мнимая часть равна реактивной проводи­мости этой ветви, причем индуктивная проводимость отрицатель­на, а емкостная — положительна.

Комплекс мощности в данной цепи определяется умножением комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока этой цепи.

I1; ;

I2; ;

Применениеком­плексных чисел обеспечивает единство методов расчета электриче­ских цепей постоянного и переменного токов.Это значит, что все методы расчета и вытекающие из них соотно­шения для цепей постоянного тока можно применить и для цепей переменного тока, если величины выражены в комплексной форме.