Дифференциальные уравнения равновесия жидкости и их интегрирование для простейшего случая

Получим дифференциальные уравнения равновесия жидкости в общем случае, когда на нее действуют не только сила тяжести, но и другие массовые силы, например, силы инерции переносного движения при так называемом относительном покое. В неподвижной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами и давлением р. Систему координат будем считать жестко связанной с сосудом, содержащим жидкость. Выделим в жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными , и . Пусть точка М будет одной из вершин параллелепипеда. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема жидкости. Пусть внутри параллелепипеда на жидкость действует равнодействующая массовая сила, составляющие которой, отнесенные к единице массы, равны , и. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны этим составляющим, умноженным на массу выделенного объема.

Давление есть функция координат , и ., но вблизи точки М по всем трем граням параллелепипеда оно одинаково, что вытекает из доказанного выше свойства гидростатического давления.При переходе от точки М, например, к точке N изменяется лишь координата на бесконечно малую величину , в связи с чем функция получает приращение, равное частному дифференциалу , поэтому давление в точке N равно

где — градиент давления вблизи точки М в направлении оси .

Рассматривая давления в других соответствующих точках граней, нормальных к оси видим, что они отличаются на одинаковую (с точностью до бесконечно малых высших порядков) величину.

Ввиду этого разность сил давления, действующих на параллелепипед в направлении оси , равна указанной величине, умноженной

на площадь грани:.

Аналогичным образом, но через градиенты давления и выразим разности сил давления, действующие на параллелепипед в направлении двух других осей.

На выделенный параллелепипед действуют лишь указанные массовые силы и силы давления, поэтому уравнения равновесия параллелепипеда в направлениях трех координатных осей запишем в следующем виде:

(2.4)

Разделим эти уравнения на массу параллелепипеда и перейдем к пределу, устремляя , и ., к нулю, т. е. стягивая параллелепипед к исходной точке М. Тогда в пределе получим уравнения равновесия жидкости, отнесенные к точке М:

(2.5)

Система (2.5) дифференциальных уравнений гидростатики называется уравнениями Эйлера.

Для практического пользования удобнее вместо системы уравнений (2.5) получить одно эквивалентное им уравнение, не содержащее частных производных. Для этого умножим первое из уравнений (2.5) на , второе на , третье на и, сложив все три уравнения, получим

Трехчлен, заключенный в скобках, представляет собой полный дифференциал давления, т. е. функции , поэтому предыдущее уравнение можно переписать в виде:

или,

(2.6)

Полученное уравнение выражает приращение давления dp при изменении координат на , и ., вобщем случае равновесия жидкости.

Если предположить, что на жидкость действует только сила тяжести, и направить ось z вертикально вверх, то X=Y=O, Z= g и, следовательно, вместо уравнения (2.7) для этого частного случая равновесия жидкости получим

(2.7)