double arrow

Теплопроводность. При теплопроводности тепловая энергия передается за счет движения и взаимодействия молекул


При теплопроводности тепловая энергия передается за счет движения и взаимодействия молекул. Интенсивность переноса тепла определяется температурным напором и свойствами тела. Процесс теплопроводности описывается законом Фурье

(2.2)

где l – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплопроводности, Вт/(м×К); dF – площадь, нормальная тепловому потоку, м2; dt – время, с; dt – перепад температур, °С; dn –расстояние между изотермами по нормали, м.

Коэффициент теплопроводности (обычно его называют просто теплопроводностью) является теплофизической константой материала, определяется его природой и зависит от температуры и, в некоторой степени, от давления. Он численно равен количеству тепла, проходящему в теле через площадку в один квадратный метр за одну секунду на расстояние в один метр при перепаде температур в один градус. Наибольшие значения теплопроводности у меди l=450 Вт/(м×К), затем идут металлы, строительные материалы и неметаллы, жидкости, теплоизоляционные материалы. Самые низкие значения, порядка 0,02 Вт/(м×К), характерны для газов. С увеличением температуры теплопроводность обычно снижается. Зависимостью теплопроводности от давления, как правило, пренебрегают. Формулы для приближенного расчета теплопроводности различных веществ приведены в разделе 1 части первой данной книги.

Предел отношения разности температур к расстоянию между изотермами по нормали, представляющий собой производную температуры по нормали, называют температурным градиентом. Так же как и тепловой поток, температурный градиент является векторной величиной с направлением, противоположным тепловому потоку. Знак минус в уравнении Фурье учитывает противоположность направлений векторов теплового потока и температурного градиента.

Процесс нестационарной теплопроводности описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, полученным из теплового баланса элементарного параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz при условии независимости свойств вещества от координат и температуры. Тепло расходуется на изменение средней температуры вещества во времени ¶t/¶t. Расход тепла dQ определим как произведение массы dm=rdV=rdxdydz, теплоемкости с, времени dt и изменения температуры во времени ¶t/¶t: crdVdt¶t/¶t. Приход тепла складывается из тепла за счет теплопроводности через грани параллелепипеда с площадями dFz=dx dy, dFy=dx dz и dFx=dz dy и внутренних источников тепла qVdV dt. Тепло, поступающее за счет теплопроводности, определим по уравнению Фурье, в котором градиент температуры dt/dn представим как произведение частной производной на дифференциал аргумента. Теплопроводный поток составит: для оси z – dFz dt ¶(¶t/¶z)/¶z, для оси у – dFy dt ¶(¶t/¶y)/¶y и оси x – dFx dt ¶(¶t/¶z)/¶z. Приравняв приход тепла расходу, после несложных преобразований получим дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности с внутренними источниками тепла

, или , (2.3)

где а=l/(rс) – коэффициент температуропроводности (или просто температуропроводность), м2/с; qV – интенсивность внутренних источников (стоков) тепла, Вт/м3; r – плотность, кг/м3; с – теплоемкость, Дж/(кг×К); Ñ2t=¶2t/¶x22t/¶у22t/¶z2 – оператор Лапласа по температуре.

Решение дифференциального уравнения возможно только при использовании условий однозначности, т.е. в общем виде невозможно.

Для стационарных условий (¶t/¶t=0) и одномерного температурного поля (неограниченная пластина с тепловым потоком, направленным по нормали к поверхности ¶t/¶у=0 и ¶t/¶z=0) при отсутствии внутренних источников (qV=0) уравнение (2.3) примет вид d2t/dx2=0.

Интегрирование последнего уравнения приводит к выражениям dt/dx=C1 и t=C1x+C2. Как видно из последних выражений, температура по толщине неограниченной пластины изменяется по линейной зависимости. Константы интегрирования С1 и С2 определим подстановкой граничных условий. При х=0 температура на поверхности равна tcт1. На противоположной поверхности при х=d температура равна tcт2. После подстановки получаем C1=(tcт2-tcт1)/d и C2=0. Подставляя значение производной dt/dx=(tcт2-tcт1)/d в уравнение Фурье (2.2), получим уравнение теплопроводности плоской неограниченной пластины тепла для стационарных условий

q=Q/(Ft)=Ñtl/d=Ñt/R, (2.4)

где Ñt=tст1-tст2 – температурный напор теплопроводности, °С; tст1,tст2 – температуры наружных поверхностей стенки, °С; d – толщина стенки, м; t – время, с; R=l/d – термическое сопротивление плоской стенки, м2×К/Вт.

Для расчета многослойных плоских стенок используют уравнение (2.4), но термическое сопротивление определяется как сумма сопротивлений слоев

R=åli/ di . (2.5)

Как уже отмечалось, температура в плоской стенке изменяется по линейной зависимости (прямая 2 на рис.2.1,а), что справедливо при отсутствии зависимости теплопроводности от температуры и координат. Для возрастающей зависимости теплопроводности от температуры распределение температур будет криволинейным с более пологой частью в области высоких температур (кривая 1 на рис.2.1,а). Для большинства веществ с ростом температуры теплопроводность снижается, и для реальных тел кривая распределения температур выполаживается в области низких температур (кривая 3 на рис.2.1,а).

 
 

Для цилиндрических стенок распределение температур подчиняется логарифмической зависимости и расчетное уравнение, получаемое интегрированием закона Фурье, для бесконечной цилиндрической стенки имеет вид

Q= и qL=, (2.6)

где L – длина стенки, м; RL=– линейное термическое сопротивление, м×К/Вт.

Для многослойной цилиндрической стенки линейное термическое сопротивление определяется суммированием линейных термических сопротивлений слоев

RL. (2.7)

Для снижения потерь тепла трубопроводами в окружающую среду их покрывают слоем теплоизоляции. В этом случае тепло от горячего теплоносителя Q1=a1(t1-tст)F1 конвекцией отдаётся стенке трубопровода, затем путем теплопроводности многослойной стенки (труба+изоляция) проходит к наружной поверхности Qст=pL(tст1
–tиз)/[ln(dв/dн)/(2l)+ln(dн/dиз)/(2lиз)] и от нее конвективным путем отдается в окружающую среду Q2=a2(tиз-t2)F2. При стационарных условиях все три тепловых потока одинаковы, т.е. Q1=Q=Q2=Q. Выделим из выражений тепловых потоков разности температур, проведем сложение правых и левых частей равенств. Учитывая, что F1=p×dв×L, F2=pdизL и Q1=Q=Q2=Q, получим

Q=pL(t1-t2)/[1/(a1dв)+ln(dв/dн)/(2l)+ln(dн/dиз)/(2lиз)+1/(a2dиз)], (2.8)

где a1 и a2 – коэффициенты теплоотдачи, Вт/(м2×К).

Почти во всех реальных случаях первые два слагаемых знаменателя 1/(a1dв) и ln(dв/dн)/(2l) пренебрежительно малы. Тогда qL=Q/L=p(t1–t2)/[ln(dн/dиз)/(2lиз)+1/(a2dиз)]. С увеличением диаметра изоляции dиз первый член суммы в знаменателе растет, а второй – уменьшается. Следовательно, зависимость qL=f(dиз) при d(qL)/d(dиз)=0 будет иметь минимальную точку. После дифференцирования и приравнивания производной нулю, получим выражение для критического значения диаметра изоляции, соответствующего максимуму передаваемого тепла:

dкр=2lиз/a2. (2.9)

Если диаметр трубопровода будет превышать критический диаметр, то использование теплоизоляции однозначно будет снижать тепловые потери. В противном случае, т.е. при dн<dкр, использование теплоизоляции с толщиной до (dкр-dн)/2 тепловые потери будет увеличивать, а при дальнейшем увеличении толщины теплоизоляции теплопотери будут вновь снижаться.

Коэффициент теплоотдачи к воздуху »10 Вт/(м2×К), теплопроводность многих теплоизоляционных материалов »0,1 Вт/(м×К). Для этих условий dкр=2×0,1/10=0,02 м=20 мм, и для теплоизоляции труб с диаметром порядка 20 мм использование материалов с коэффициентом теплопроводности около 0,1 Вт/(м×К) будет неэффективным. Для этих целей необходимо использовать материалы с меньшей теплопроводностью, например, стекловату с теплопроводностью 0,05¼0,08 Вт/(м×К).

В ряде случаев теплообменные поверхности промышленных аппаратов увеличивают использованием оребрения. Рассмотрим стационарную теплопроводность стержня длиной L, находящегося в среде с постоянной температурой и заделанного одним концом в стенку с постоянной температурой (рис.2.2). Будем полагать, что стержень имеет достаточно большую длину и его температура на конце равна температуре окружающей среды. Тепло от горячей стенки будет распространяться по стержню за счет его теплопроводности. В процессе прохождения тепла по стержню часть его будет отводиться в окружающую среду за счет конвекции. В соответствии с этим средняя температура стержня будет изменяться от максимальной в месте его заделки до минимальной и равной окружающей среде на достаточно большом удалении от стенки. Рассмотрим тепловой баланс элементарного слоя стержня толщиной dx на расстоянии х от места заделки стержня. Обозначим периметр стержня П и его сечение S. Тогда поверхность выделенного объема определится по формуле dF=П dx. Тепло, входящее в выделенный объем слева, определим по уравнению Фурье Qx=-l S(dt/dx). За счет конвекции часть этого тепла dQ=a(t-tc)dF=a(t-tc)П dх отведется в среду, а остальное пройдет дальше по стержню за счет теплопроводности Qx+dx=-lS(dt/dx)-(¶Q/¶x)dx. Приравняв разность теплопроводных потоков тепла конвективному тепловому потоку и произведя сокращения, получим a1=(tст–t0)П=-(¶Q/¶x)=lS(¶2t/¶x2).

Заменив температуру t на относительную v=tст-t0 и обозначив комплекс констант для конкретного стержня одной величиной m=[aП/(lS)]0,5, получим

2v/¶x2=mv. (2.10)

Решение последнего дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

v=C1exp(mx)+C2exp(-mx).

Константы интегрирования этого решения определим из граничных условий:

– при х=0 Þ v=vo и С12=vo;

– при х=L Þ v=0 и C1exp(Lm)+C2exp(-Lm)=0.

C1=voexp(mL)/[exp(-mL)+exp(mL)]

и C2=voexp(mL)/[exp(-mL)+exp(mL)].

Подставив значение констант интегрирования в решение дифференциального уравнения, получим

v=vo{exp[m(x-L)]+exp[-m(x-L)]}/[exp(-mL)+exp(mL)]=
=voch[m(x-L)]/ch(mL), (2.11)

где ch[m(x-L)] – гиперболический косинус произведения m(x-L).

Для конца стержня x=L выражение (2.9) упрощается:

v=vo/ch(mL). (2.12)

Количество тепла, отведенное от поверхности стержня, при стационарных условиях будет равно теплу, входящему в стержень в месте его заделки Q=-lS(dv/dx)x=0. Производную (dv/dx)х=0 определим дифференцированием решения уравнения (2.9). После подстановки производной и констант интегрирования в последнее выражение, получим

Q=lmSvo[exp(mL)-exp(-mL)]/[exp(-mL)+exp(mL)]=lmSvoth(mL),(2.13)

где th(mL)=[exp(mL)-exp(-mL)]/[exp(-mL)+exp(mL)] – гиперболический тангенс произведения mL.

Анализ выражения (2.13) показывает, что увеличение длины стержня ведет к увеличению количества отводимого тепла. При этом следует отметить, что рост mL свыше 2¼3 тепловой поток практически не изменяет.

При использовании электронагрева мы имеем дело со стационарной теплопроводностью с внутренними источниками тепла. Рассмотрим бесконечно большую пластину (рис.2.3) с равномерно распределенными по её объему постоянно действующими источниками тепла интенсивностью qv (Вт/м3). Так как условия теплообмена с обеих сторон стенки одинаковы, то температурное поле можно считать симметричным и имеющим максимум на оси пластины. Таким образом, при х=0 градиент температуры dt/dx=0. На поверхности пластины (х=d) тепловой поток со стороны пластины, определяемый по уравнению Фурье q=-ldt/dx, равен теплу, отводимому от стенки конвекцией q=a(t-to). Таким образом, на поверхности стенки при х=±d Þ -ldt/dx=a(t–to) и -dt/dx=a(t–to)/l.

Дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности для плоской пластины при стационарных условиях с внутренними источниками тепла будет иметь вид d2t/dx2+qv/l=0. Интегрируя это уравнение, получим dt/dx=-хqv/l+С1 и t=-x2qv/(2l)+С1х+C2.

Константы интегрирования определим из граничных условий:

– при х=0 Þ dt/dx=0; dt/dx=-хqv/l+С1=0 и С1=0;

– при х=±d Þ dt/dx=-a (t-to)/l и dt/dx=-хqv/l+С1=-dqv/l+0.

Приравняв правые и левые части последних двух равенств, имеем – хqv/l=–a(t–to)/l. Отсюда t=to+qvd/a.

На поверхности пластины (при х=±d) температура в соответствии с решением дифференциального уравнения определится выражением t=t=-х2qv/(2l)+С1х+C2. Подставляя в последнее выражение х=d; С1=0 и t=to+qvd/a, получим выражение для константы интегрирования С2=to+qvd/a+d2qv/(2l). Окончательно для температуры в произвольном сечении стенки имеем

t=to+qvd/a+(d2-x2)qv/(2l). (2.14)

Судя по уравнению (2.13), температура в пластине изменяется по параболе с максимумом на её оси, определяемым по формуле

tц=to+qvd/a+d2qv/(2l). (2.15)

При стационарной теплопроводности бесконечного стержня с внутренними источниками тепла температура определяется также квадратичными уравнениями:

t=to+[1-(r/R)2]qvR2/(4l)+qvR/(2a) и tц=to+R2qv /(4l)+qvR/(2a), (2.16)

где R – радиус стержня, м.



Сейчас читают про: