Действия над комплексными числами

10 11 12 13 14 15 16

1. Сложение (вычитание) комплексных чисел.

т. е. при сложении (вычитании) комплексных чисел их действительные и мнимые части складываются (вычитаются).

2. Умножение комплексных чисел.

Комплексные числа перемножаются как двучленны; при этом необходимо учитывать, что

, , .

Умножим два комплексных числа, имеем

Получим произведение комплексных чисел в тригонометрическом виде

Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

В частном случае, при умножении двух комплексно-сопряженных чисел получается квадрат их модуля.

Следствие. Возведение в степень комплексного числа.

Если , то

т. е. при возведении комплексного числа в n -ю степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на эту степень.

Например .

3. Деление комплексных чисел.

Запишем в координатном виде .

Умножим числитель и знаменатель на число комплексно-сопряженное знаменателю, получим

Более удобный вид частного комплексных чисел получим при использовании тригонометрической записи.

Следовательно, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

4. Извлечение корня из комплексного числа.

Пусть , а . Равенство

возведем в n -ю степень, получим

Отсюда получим для модулей чисел равенство

или .

Аргументы равных чисел могут отличаться на число, кратное 2p, поэтому для аргументов чисел z и имеем

, .

Следовательно,

Корень n -ой степени из действительного числа А, отличного от нуля, имеет n значений, так как действительное число является частным случаем комплексного и может быть представлено в тригонометрической форме: если , то , если , то .

Пример 7.19. Найти корень кубический из комплексной единицы . Представим эту единицу в тригонометрическом виде . Получаем

При имеем корень .

При корень .

При корень

Рис. 84

Таким образом, корень кубический из единицы

в комплексной плоскости имеет три значения:

, которые изображены точками на рис. 84. Все корни имеют один и тот же модуль, равный единице, поэтому они располагаются на окружности. Аргументы корней равны: 0°, 120° и 240°, поэтому они делят окружность на три равных части.