2014-02-02
1344
В полярных координатах переменной величиной является радиус вектор. Рассмотрим операцию векторного дифференцирования.
Рис.11.2
Пусть имеем переменный вектор а, изменяющийся с течением времени по определенному закону 
. Пусть в моменты времени t, t1, t2, t3 и т.д. значения данного переменного вектора а, а1, а2, а3 и т.д. (рис.11.2) Геометрическое место концов этих векторов называется годографом этого вектора. Например, годографом радиуса вектора r движущейся точки М является траектория этой точки.
Рассмотрим теперь два близких момента времени t и t+Δt. Значения переменного вектора в эти моменты будут 
и 
. Соединив точки годографа А и А', из треугольника ОАА' получим:
или 
Следовательно, вектор 
через 
, то 
Переходя к пределу при Δt→0: предел отношения 
при Δt→0 называется производной от вектора а по аргументу t и обозначается 
:
Пусть вектор 
в пределе займет положение 
, тогда 
. Так как точка А' в пределе совпадает с точкой А, то прямая АВ превращается в касательную к годографу. Следовательно, вектор направлен по касательной к годографу вектора а.
Производная от данного вектора представляет собой новый вектор, направленный по касательной к годографу дифференцируемого вектора.
Свойства векторной производной:
1. Если а =const, то 
2. 
3. 
4. 
5. 
Разлагая вектор а по трем координатным осям, получим:
В этом равенстве координатные орты представляют собой постоянные векторы, так как их модуль и направление с течением времени не изменяются. Проекции вектора а изменяются с течением времени по определенному закону и являются некоторыми скалярными функциями:
, 
и 
Дифференцируя векторное равенство, получим6
Это равенство представляет собой формулу разложения производной по координатным осям. Так как в формуле разложения по координатным осям скалярные коэффициенты при координатных ортах являются проекциями этого вектора на соответствующие оси, то из полученной формулы следует:
, 
, 
Проекция производной данного вектора на неподвижную ось равна производной от проекции этого вектора на туже ось.
