Вычисление производной по определению

Численное дифференцирование

Производной функции y=f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции D y к приращению аргумента D x при стремлении D x к нулю: .

Если

· производную от функции в данной точке аналитически найти не удается либо

· вычисление производной слишком громоздко или занимает очень много времени либо

· функция f(x) задана на конечном множестве точек { x_i } (i=0,1,…,n),

то необходимо перейти к численному дифференцированию.

Вычисление производной по определению применяется, когда известно аналитическое выражение функции y=f(x).

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и имеет производную в этой точке, т.е. ,

Где D x=x – x₀,

D y=f(x₀+ D x) – f(x₀)

Значение производной функции y=f(x) в точке x₀ получим, рассматривая последовательность ,

где (D x)₀ – некоторое начальное приращение аргумента;

a – некоторое число a >1;

n = 0, 1, …

Значение производной примет вид: ,

где , откуда получим: .

Оценим точность приближения.

Пусть функция y=f(x) имеет непрерывную производную до второго порядка включительно в окрестности точки x₀.

По формуле Тейлора ,

откуда ,

где – максимальное значение производной на (x, x₀).

Окончательно получим: , где

Для достижения заданной степени точности ε при вычислении производной можно использовать неравенство: и, соответственно, последний результат принимают в качестве производной функции, вычисленной в точке x с заданной степенью точности.