К поверхности

Частные производные. Касательная плоскость и нормаль

Пусть задана функция . Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение , сохраняя значение

Аналогично получаем частное приращение z по у:

Полное приращение функции определяется равенством

.

Если существует предел

то он называется частной производной функции в точке по переменной х и обозначается одним из символов:

Частные производные по х в точке обычно обозначают символами .

Аналогично определяется и обозначается частная производная от по переменной у.

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

Пример 2. Найти частные производные функции

Решение.

Графиком функции является некоторая поверхность.

График функции есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной заключаем, что угол между осью 0х и касательной, проведенной к кривой в точке (рис. 3). Аналогично

Рис. 3 Рис. 4

Рассмотрим одно из геометрических приложений частных производных функции двух переменных. Пусть функция дифференцируема в точке некоторой области Рассечем поверхность, изображающую функцию z, плоскостями (рис. 4). Плоскость пересекает поверхность S по некоторой линии , уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции вместо числа Точка принадлежит кривой . В силу дифференцируемости функции z в точке М₀ функция также является дифференцируемой в точке . Следовательно, в этой точке в плоскости к кривой может быть проведена касательная .

Проводя аналогичные рассуждения для сечения , построим касательную к кривой в точке . Прямые определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью поверхности S в точке М₀.

Составим её уравнение. Так как плоскость проходит через точку , то её уравнение может быть записано в виде

которое можно переписать так:

, (1)

(разделив уравнение на –С и обозначив .

Найдем

Уравнения касательных имеют вид

,

соответственно.

Касательная лежит в плоскости , следовательно, координаты всех точек удовлетворяют уравнению (1). Этот факт можно записать в виде системы

Разрешая эту систему относительно , получим, что .

Проводя аналогичные рассуждения для касательной , легко установить, что .

Подставив значения в уравнение (1), получаем исходное уравнение касательной плоскости:

Прямая, проходящая через точку М₀ и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется её нормалью.

Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости легко получить канонические уравнения нормали:

.

Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности. Точка М₀ поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.

Пример 3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к параболоиду вращения в точке

Решение: Здесь Пользуясь приведенными выше формулами, получаем уравнение касательной плоскости: или

и уравнение нормали: