Математическое описание цифровых САУ

Структурно-операторное описание дискретной системы

Глава I

В системах управления, содержащих ЭВМ или микропроцессорный регулятор, сигналы квантуются по времени и по уровню. На рис.1.1 представлена одноконтурная система управляющей ЭВМ. Съем сигналов с датчиков (Д) (опрос датчиков) осуществляется, как правило, с постоянным периодом Т. На схеме квантователь сигналов по времени изображен в виде ключа.

Рис. 1.1. Функциональная схема одноконтурной системы с управляющей ЭВМ

Если время съема информации мало, то сигнал с выхода ключа представляет собой значение сигнала x(t) в дискретные моменты времени kT, где k=0,1,2,…(рис.1.2 а, б). Дискретный сигнал x[kT] в аналого-цифровом преобразователе А/Ц квантуется как по времени, так и по уровню. Управляющие ЭВМ обычно восьми или шестнадцати разрядные. В шестнадцати разрядной сетке последний разряд составляет 100/2 15 или 0,007%. Величина эта ниже уровня шумов, поэтому дискретностью по уровню можно пренебречь.

Рис. 1.2. Реальные и идеальные импульсные функции

а) непрерывная функция х(t); б) импульсная (решетчатая) функция х^*(t)

После обработки информации сигналя с ЭВМ снимаются также с периодом Т с задержкой на время выполнения алгоритма управления Т_A. Эти сигналы поступают на цифро-аналоговый преобразователь Ц/А, с выхода которого снимаются импульсы конечной ширины Т_И (рис.1.3 а), которые как правило равны периоду квантования Т_И=Т.

u^*(t)=x^*(t), то есть передаточная функция алгоритма ЭВМ и Ц/А – приняты для простоты равными единице. Таким образом, если не учитывать квантования по уровню, управляющая ЭВМ обрабатывает и выдает импульсные сигналы. Поэтому при описании управляющего алгоритма теряется смысл производной и интеграла, так как минимальное приращение временного интервала Dt=T. В этом случае производная по времени

заменяется дискретной функцией

называемой первой разностью. Величина Т=const, поэтому выражение (1.1) удобно представить в относительном времени

Аналогично определяются вторая и более высокие разности. Операция интегрирования для импульсных функций заменяется суммированием, а дифференциальные – разностными. Например, простейшее дифференциальное уравнение первого порядка

представляется как разностное уравнение первого порядка

где

Динамическое звено n-го порядка реализуется алгоритмом работы ЭВМ как разностное уравнение того же порядка. Его удобно представлять, используя оператор сдвига D

где

Объект управления описывается непрерывной моделью в виде обычных дифференциальных уравнений. Чтобы получить единообразное описание всей замкнутой системы, необходимо объект управления представить также дискретной моделью. Такое представление может быть осуществлено с помощью преобразования вида (1.1), но это может привести к значительным погрешностям. Для получения точной дискретной модели используется понятие идеального импульсного элемента. Импульсный элемент преобразует непрерывный сигнал x(t), в дискретный , представляющий последовательность идеальных импульсов, площадь которых в моменты времени равна значению функции x(t) в эти моменты времени (рис.1.3б).

Рис. 1.3. Последовательность идеальных d-импульсов

Аналитическая зависимость между этими сигналами определяется выражением

где - идеальный единичный импульс, равный нулю при t-kT>0 и t-kT<0, и площадью, равной единице при t-kT=0, то есть в момент времени t=kT (дельта функция).

Найдем преобразование Лапласа для этой импульсной последовательности

Так как в моменты времени kT дискретная функция x[kT] постоянна, можно записать

Учитывая, что

получим

Преобразование (1.4) является дискретным эквивалентом непрерывного преобразования Лапласа. Для упрощения записи, обозначив через z, получим следующее выражение

Выражение (1.5) называется z-преобразованием. Этот бесконечный ряд сходится, если .

Для перехода от непрерывной передаточной функции объекта к дискретной, связывающей дискретные входные и выходные сигналы после квантователей, примем, что эти квантователи работают синхронно. Импульсы, поступающие на вход объекта согласно (1.3) описываются следующим образом

Реакция на единичный импульс последовательности (1.6) определятся весовой функцией объекта . Напомним, что весовая функция – это реакция звена на дельта-функцию.

где h(t) - реакция объекта на единичное воздействие 1(t).

Следовательно, сигнал с выхода объекта определяется зависимостью

Учитывая, что сигнал y(t) после квантователя передается в ЭВМ в дискретные моменты y=nT из (1.7), получим

Подвергнем дискретному преобразованию Лапласа выражение (1.8)

Обозначим n-k=g или n=g+k.

Тогда

Принимая во внимание, что при отрицательных значениях g функция и ,получим

Вторая сумма в (1.9) является согласно (1.7), изображением входного сигнала. Следовательно, первая сумма представляет дискретную передаточную функцию или

Переходя к переменной z получим z-преобразованную передаточную функцию.

Рассмотрим в качестве примера объект первого порядка

где

Весовая функция объекта

Подвергнем z-преобразованию это выражение

Этот ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с коэффициентом . Следовательно, сумма этого ряда будет определяться следующим образом

где

Преобразование (1.11) для элементарных w[kT] и x[kT] приводится в таблицах [3, 6]. Пример такой таблицы приведен ниже (таблица 1).

Таблица 1

x(t)	x(p)	x[kT]	x(z)
d(t)		d[kT]
1(t)		1[kT]
at2		aK2T2
K0e-aT		K0e-akT
sinw1t		sinw1kT

Если требуется выразить x(z) относительно переменой z в отрицательной степени, то переход от табличных выражений, очевидно, элементарно прост. Нужно числитель и знаменатель умножить на z^-n, где n – максимальное значение положительного показателя степени при z.

Рассмотренная процедура преобразований представляет следующий переход

где символ D обозначает определение W(z) или x(z) непосредственно по W(p) или x(p). Для рассмотренного выше примера

Такое D - преобразование проще всего осуществлять с помощью таблицы переходов (таблица 1, колонки x(p) и x(z)). Это позволяет исключить определение дискретной весовой функции. Если передаточная функция W(p) имеет сложный (не табличный) вид, ее необходимо представить в виде элементарных слагаемых, определяемых одним из известных методов [3]. Для каждого слагаемого по таблице находится z-преобразованная функция, и исходя из линейности z-преобразования

результирующая дискретная передаточная функция W(z) определяется суммированием элементарных слагаемых.

Другим важным свойством z-преобразования является изображение сдвига по времени на n-тактов влево

и сдвига на n-тактов вправо

Начальные и конечные значения дискретных функций определяются выражениями

Операция D - преобразования значительно упрощается, если воспользоваться приближенной заменой переменных

Правомерность такой замены вытекает из разложения в ряд функции z=e^Tp

Преобразования (1.10) и (1.12) справедливы для случая, когда на вход объекта подается последовательность идеальных импульсов бесконечно большой амплитуды и площадью, равной u[kT]. Реально на объект действует последовательность импульсов конечной амплитуды, равной u[kT] и конечной ширины T_n (рис.1.3 а). Поэтому передаточную функцию объекта необходимо дополнить передаточной функцией формирователя W_Ф(p), преобразующего дискретную функцию u_d(t) (или x_d(t) на рис.1.3 б) в дискретную функцию u^*[kT] (или x^*[kT] на рис.1.3 а). Связь между этими функциями определяется очевидным выражением

Применяя преобразование Лапласа, получим

или

Результирующая передаточная функция непрерывной части

W_K(p)=W_Ф(p)W_O(p) (1.19)

На рис.1.4 представлена на основании (1.18) и (1.19) структурная схема непрерывной части системы с идеальным импульсным элементом.

Рис. 1.4. Структурная схема непрерывной частии системы с

идеальным импульсным элементом

При ширине импульсов, выдаваемых формирующим элементом, равным периоду квантования (Т_и=Т), что чаще всего встречается на практике

Используя свойства z-преобразования, можно доказать, что

Квантователи по времени (ключи на рис.1.1) замыкаются синхронно, но не синфазно, так как замыкание ключа на выходе происходит с задержкой на время выполнения ЭВМ программы управления Т_а. Очевидно, что 0£T_a£T. Это приводит к появлению в замкнутой системе звена чистого запаздывания в наихудшем случае на такт квантования. Согласно (1.14) в этом случае

Довольно просто осуществляется z-преобразование дискретной части замкнутой системы регулирования алгоритма управляющей программы ЭВМ, представленного разностным уравнением (1.2).

Используя свойства z-преобразования (1.14), получаем

Из сравнения (1.2) и (1.22) следует, что z-преобразование сводится к замене Dⁱ на z^-i. Дискретная передаточная функция W_a(z), описывающая управляющий алгоритм, определяется из (1.22)

Объединяя (1.23) с (1.19) получим дискретную функцию разомкнутой системы

W_P(z)=W_a(z)W_C(p)

Передаточная функция замкнутой импульсной системы будет иметь вид

где F(z) - изображение внешнего воздействия.

Применение z-преобразования позволяет решать для импульсных систем те же задачи, что и для непрерывных: исследование устойчивости, синтез корректирующих звеньев, определение реакции на внешние воздействия и так далее[3, 6]. Например, определение реакции на единичное воздействие производится следующим образом. Находим

Применяем обратное z-преобразование

Преобразование (1.24) наиболее просто осуществляется с помощью таблицы. Для этого как и при прямом преобразовании, выражение фигурных скобках представляется в виде элементарных слагаемых[6].

В качестве примере рассмотрим систему, представленную на рис.1.1, с объектом первого порядка (1.11) и управляющей ЭВМ, выполняющей функцию И – регулятора.

Согласно (1.20)

Используя таблицу 1, получим

Окончательно

где

Уравнение непрерывного И – регулятора имеет вид

где e(t)=u_З(t)-u_OC(t) - разность между задающим сигналом и сигналом обратной связи (ошибка регулирования). Непрерывная передаточная функция регулятора

Дискретный И – регулятор описывается уравнением

Выражение (1.28) представляет нерекуррентный алгоритм управления. Однако, для программирования ЭВМ удобны рекуррентные алгоритмы. Они основаны на использовании для вычисления управляющего воздействия u[kT] его значения на предыдущем шаге расчета

Вычтем из уравнения (1.28) уравнение (1.29)

Это уравнение дает рекуррентный алгоритм дискретного И – регулятора

Для получения дискретной передаточной функции подвергнем z-преобразованию разностное уравнение (1.30)

Следовательно

Заметим, что такое же выражение дает непосредственный переход, например, с помощью таблиц или D - преобразования от непрерывной передаточной функции (1.27) к дискретной.

Структурная схема рассматриваемой системы представлена на рис.1.5.

Рис. 1.5. Структурная схема одноконтурной системы управления

Результирующая передаточная функция этой системы согласно (1.25) и (1.31) имеет вид

или

где

По этой передаточной функции можно исследовать устойчивость замкнутой системы, определить оптимальный коэффициент регулятора K_И и так далее. Эти вопросы будут рассмотрены во второй главе.

Самостоятельно необходимо найти W₃(z) для системы с дискретным ПИ – регулятором.