Условная вероятность. Независимые события

Пусть и случайные события из алгебры событий .

Определение. Вероятностью события при условии, что событие наступило, или просто условной вероятностью события называют выражение

(1)

Проиллюстрируем это понятие в случае, когда пространство элементарных событий конечно. Пусть , то есть есть число всевозможных исходов опыта. Пусть k, m есть количество исходов опыта при которых наступают события и соответственно (очевидно, что ). Тогда и по определению Это соответствует классическому определению вероятности для нового опыта, в котором общее количество исходов равно (в стольких случаях наступает событие ), а число случаев, когда еще наступает событие (то есть и наступают одновременно) равно .

Замечание. Условная вероятность обладает всеми свойствами обычной вероятности. Из формулы (1) следует также, что

(2)

Пример. Какова вероятность того, что вытащенная кость домино окажется «дуплем», если известно, что сумма очков на этой кости является четным числом?

Решение.

Пусть событие состоит в том, что вытащенная кость есть дупль, а событие состоит в том, что сумма очков на ней четна. Из 28 костей домино 16 имеют четную сумму и на 7 дублях сумма очков четна. Поэтому

Заметим, что безусловная вероятность

Определение. Случайные события и независимы, если наступление события не изменит вероятности наступления события :

(3)

Замечание. Если случайные события и независимы, то из формул (1), (2) следует следующее правило умножения вероятностей:

(4)

В дальнейшем независимость случайных событий и будет пониматься, как выполнение равенства (4).

Задача. Доказать, что если и независимы, то независимы также события и , и , и .

Пример. Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет «герб» или «6».

Решение.

Пусть и есть случайные события, состоящие в падении герба и шестерки соответственно. Пусть есть искомое случайное событие. Очевидно, что

Появление герба не влияет на появление шестерки. Поэтому события и независимы и

По формуле вероятности суммы событий

Замечание. При решении многих задач на вероятность мы будем следовать по такому же плану, как в последнем примере.

Приведем этот план:

1) Обозначить буквами события, рассматриваемые в задаче.

2) С помощью введенных обозначений выразить случайное событие, вероятность которого требуется найти.

3) Выбрать необходимую для решения формулу и выполнить необходимые вычисления.