По несгруппированным данным

Отыскание параметров выборочного уравнения линейной регрессии

Пусть имеются две случайные величины, и проводится их измерение.

В результате независимых опытов получены, пар чисел , , ,

Будем искать линейное выборочное уравнение регрессии на в виде:

Так как по выборочным данным можно получить только оценки параметров, то оценку коэффициента обозначим через , а оценку — через , то есть .

Параметры и находим методом наименьших квадратов по формулам:

,

Аналогично находится выборочное уравнение линейной регрессии на :

,

где

,

.

Для оценки связи (тесноты) между случайными величина­ми обычно используется выборочная ковариация и выборочный коэффициент корреляции.

Выборочная ковариация (эмпирический корреляционный момент) записывается в виде:

,

а выборочный коэффициент корреляции имеет вид:

или ,

где , .

Абсолютная величина (модуль) выборочного коэффициента корреляции не превосходит единицы, то есть или . С возрастанием линейная корреляционная зависимость становится более тесной, и при переходит в функциональную. Если , то корреляционная связь испытаний и отсутствует.

Пример 11. В результате независимых испытаний получены пары значений случайных величин и :

В таблице значения расставлены в возрастающем порядке.

Найти выборочное уравнение линейной регрессии и выборочный коэффициент корреляции. Построить прямые регрессии на и на .

¦ Составим таблицу подсчетов (табл.16).

Таблица 16

Номер опыта

1) Находим , .

2) , .

, .

3) Вычислим эмпирический корреляционный момент:

.

Тогда коэффициент корреляции: .

Значение довольно близко к 1, следовательно, связь между случайными величинами и довольно тесная.

4) Найдем уравнения линий регрессии

на :

на :

5) Построим линии регрессии (Рис.6). Для этого найдем точки пересечения линий с осями координат:

: , ;

,

: , ;

, .

Рис.6?