Будем называть одинаковыми частицы, имеющие одинаковые массы, заряды, спины и т.д. Такие частицы в равных условиях ведут себя одинаковым образом, теряют свою индивидуальность. Поэтому выполняется принцип тождественности частиц: состояния системы частиц, получающиеся друг из друга перестановкой тождественных частиц местами, нельзя различить ни в каком эксперименте и такие состояния следует рассматривать как одно и то же физическое состояние.
Рассмотрим систему из N невзаимодействующих частиц, обладающих спином. Волновая функция такой системы имеет вид . Введем обозначения: , тогда в новых обозначениях волновая функция примет вид:. Введем оператор перестановки двух частиц местами. Переставим, например, первую и вторую частицы:
. (1)
С другой стороны, по определению оператора:
. (2)
Подействуем на оператором дважды, тогда с учетом (1) получим , (3)
с учетом (2), получим:
(4)
Как следует из (3) и (4), должно выполняться равенство:
Опр. Функции, сохраняющие свое значение при перестановке аргументов, называются симметричными: . Функции, изменяющие знак при перестановке аргументов, называются антисимметричными: .
|
|
В релятивистской квантовой механике доказывается, что частицы с целым спином должны иметь симметричные волновые функции, а частицы с полуцелым спином – антисимметричные. Электроны имеют полуцелый спин, поэтому описываются антисимметричными волновыми функциями.
Частицы с целым спином называются бозонами, с полуцелым – фермионами. Примером бозона является фотон, примерами фермионов – электроны, протоны, нейтроны.
Рассмотрим систему из двух невзаимодействующих тождественных фермионов. Каждый из них описывается своей волновой функцией и . Построим из этих функций волновую функцию двух фермионов . Величина определяет вероятность совместного состояния двух фермионов, а величины и – вероятности для состояний для отдельных фермионов. Теорема об умножении вероятностей независимых событий будет выполняться, если двухчастичную волновую функцию записать в виде:
. (5)
В силу тождественности фермионов эту функцию можно записать и в виде:
. (6)
Так как волновая функция двух фермионов должна быть антисимметричной и следует учесть два варианта представления (5) и (6), то запишем двухчастичную функцию в виде:
, (7)
где С – нормировочный множитель. Функцию (7) можно записать в виде определителя: . (8)
По аналогии с (8) можно записать волновую функцию для N невзаимодействующих фермионов:
. (9)
Рассмотрим случай, когда два фермиона находятся в одинаковых состояниях. Это означает, что среди набора волновых функций две будут одинаковые, например и . Тогда в определителе (9) два столбца будут совпадать и определитель будет равен нулю. Т.е. такое состояние системы невозможно. Отсюда следует принцип Паули: два тождественных фермиона не могут находиться в одном квантовом состоянии.
|
|
Если рассмотреть систему из двух невзаимодействующих бозонов, то двухчастичная волновая функция бозонов запишется в виде:
. (10)
По аналогии с (10) волновая функция N невзаимодействующих бозонов будет иметь вид:
, (11)
где суммирование производится по всем перестановкам индексов i1i2….