Тройной интеграл в прямоугольной системе

ЛЕКЦИОННОЕ ЗАНЯТИЕ. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению определенного и двойного интегралов. Рассмотрим три случая.

Случай 1. Пусть тело ограничено поверхностями , , цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси (рис. 1,a). Цилиндрическая поверхность может и отсутствовать (рис. 1,б). Тогда

Здесь – есть проекция тела на плоскость (рис. 1).

Обоснование формулы проводится так же, как и для двойного интеграла.

Чтобы применять формулу на практике, рекомендуем:

1) построить тело ;

2) записать тройной интеграл через повторный интеграл; в повторном интеграле сначала расставить внутренние пределы интегрирования, т.е. пределы изменения . При этом переменная интегрирования меняется от на нижней поверхности до на верхней поверхности;

3) вычислить внутренний интеграл при фиксированных ;

4) вычислить внешний интеграл по проекции тела на плоскость .

Случай 2. Пусть тело ограничено поверхностями , и цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси . Тогда

Случай 3. Пусть тело ограничено поверхностями , и цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси . Тогда

Для вычисления тройных интегралов надо уметь строить поверхности с заданными уравнениями. Дадим следующие рекомендации.

1. Если уравнение поверхности не содержит одной переменной, например, уравнение не содержит , то поверхность является цилиндрической с образующими, параллельными оси . Сначала строим направляющую с заданным уравнением , затем через ее точки проводим образующие, параллельные оси .

2. Если уравнение поверхности содержит переменные , то удобно строить поверхность методом сечения плоскостями , , или параллельными им плоскостями.

Пример 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями , , , .

Решение. Построим поверхности, ограничивающие тело. В уравнении отсутствует , следовательно, это уравнение определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси . Направляющая в плоскости имеет уравнение (или , ), которое определяет левую часть параболы. Строя направляющую и образующие, проходящие через ее точки (рис. 2), получим цилиндрическую поверхность . Уравнение определяет плоскость .

Следующее уравнение есть уравнение первой степени, значит, оно определяет плоскость. В уравнении отсутствует , значит, плоскость параллельна оси . Кроме того, при имеем , при имеем . Через полученные две точки и проводим плоскость , параллельную оси . Эта плоскость пересечет плоскость по отрезку , а цилиндрическую поверхность – по дуге (рис. 2).

Аналогично, уравнение определяет плоскость, параллельную оси , пересекающую плоскость по отрезку , а цилиндрическую поверхность – по дуге .

Объем тела, ограниченного рассмотренными поверхностями, найдем по одной из формул (6.6):

Запишем тройной интеграл через повторный по формуле. Чтобы расставить внутренние пределы интегрирования, т.е. пределы изменения , будем двигаться параллельно оси . При этом меняется от на плоскости до на плоскости . Поэтому

Здесь есть проекция тела на плоскость , т.е. криволинейный треугольник . Вычислим теперь двойной интеграл. Для этого запишем его через повторный интеграл с внутренним интегрированием по . Для выяснения пределов изменения будем двигаться в области параллельно оси . При этом меняется от на дуге до на отрезке . Поэтому

Вычисляя сначала внутренний интеграл при фиксированном , а затем внешний интеграл, получим

Пример 2. Найти центр тяжести тела, ограниченного поверхностями , .

Решение. Построим поверхности, ограничивающие тело. Первую поверхность с уравнением построим методом сечений. В сечении плоскостью получим параболу с осью симметрии – осью (рис. 2). В сечении плоскостью получим окружность . По этим сечениям видно, что уравнение определяет параболоид. Вторая поверхность – плоскость – отсекает от параболоида его часть, изображенную на рис. 2.

Центр тяжести полученного однородного тела, в силу его симметрии, находится на оси (в точке ). Следовательно, . Координату центра тяжести тела найдем с помощью тройных интегралов по формулам:

, где .

Так как тело однородное, то его плотность является постоянной величиной и ее можно вынести за знак интеграла. Поэтому

Вычислим сначала интеграл , стоящий в числителе; для этого запишем его в виде повторного интеграла с внутренним интегрированием по . Для выяснения пределов изменения будем двигаться параллельно оси . При этом меняется от на поверхности параболоида до на плоскости. Поэтому

Сначала вычислим внутренний интеграл

Так как проекция тела на плоскости есть круг, то получившийся двойной интеграл удобно вычислять в полярной системе координат, заменяя на , а на . Тогда получим