Неоднор-е ДУ 2-го порядка с пост-ми коэф-ми

Общее реш-е ДУ имеет вид где - общее реш-е однородного ур-я, - частное реш-е неоднородного ур-я или

Найдем . Рассмотрим частные случаи.

I) Правая часть имеет вид где - многочлен -й степени. Реш-е где: - многочлен той же степени, что и - кратность среди корней характеристического ур-я (если такого корня нет, то ).

Коэф-ты многочлена находим методом неопределенных коэф-в.

Частные случаи:

а)

б) - многочлен нулевой степени.

Примеры: 1)

Характеристики правой части: т.к. среди корней характеристич-го ур-я нет корня с такими же характ-ками.

Частное реш-е неоднородного ур-я имеет вид Подставим в ДУ

Применим метод неопределенных коэф-в:

Из нач-х усл-й

2)

Характеристики правой части:

3)

Характеристики правой части:

II) Правая часть имеет вид

а) Если не явл-ся корнями характеристического ур-я, то (*)

б) Если корни характеристического ур-я, то (**)

В частном случае, когда или частное реш-е все равно имеет вид (*) или (**).

Примеры: 1)

Характеристики правой части:

2)

а) Характеристики правой части:

б) Характеристики правой части:

III) Правая часть имеет вид

где - многочлены степени соотв-но. Возможны два случая.

а) - не есть корни характеристического ур-я. Тогда частное реш-е неоднородного ур-я имеет вид где - многочлены степени

б) - корни характеристического ур-я. Тогда частное реш-е неоднородного ур-я имеет вид где - многочлены степени

Случай (I) получается, если случай (II) получается, если Степени многочленов могут получиться меньше

Пример.

Характеристики правой части:

Теорема. Пусть правая часть ДУ равна сумме двух ф-й Пусть - частное реш-е при - частное реш-е при Тогда

Док-во.