Замена переменной и формула интегрирование по частям

Раздел. Интегральное исчисление

1. Определённый интеграл

Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

Многие задачи естествознания и техники получили решение благодаря одному из основных понятий математического анализа - определенному интегралу. Нахождение площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, пути, скорости, моментов инерции и т.д., сводится к его вычислению. Рассмотрим некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Задача о площади криволинейной трапеции. Дана плоская фигура, ограниченная графиком функции и отрезками прямых . Функция определена, непрерывна и неотрицательна в промежутке . Вычислить площадь S полученной фигуры , называется криволинейной трапецией.

Определённый интеграл как предел интегральной суммы

Обобщим рассуждения, проведенные при решении двух предыдущих задач о массе прямолинейного стержня и о площади криволинейной трапеции.

a …………… b

f()

y = f(x)

x

y

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [ a,b ], b < a. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками: a = x₀ < x₁ < x₂ < …< x_i-1 < x_i < …< x_n = b. Обозначим эти разбиения через τ = {x_i} (i = 1,…, n). В каждом из полученных частичных отрезков [ x_i-1, x_i ] выберем произвольную точку . Через обозначим разность, которую условимся называть длиной частичного отрезка [ x_i-1, x_i ].

Рис. 3.

Образуем сумму которую назовем интегральной суммой для функции f(x) на [ a,b ] соответствующей данному разбиению [ a,b ] на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек

Определение 1. Функция интегрируема на промежутке , если при любых разбиениях промежутка , таких, что при произвольном выборе точек , сумма при стремится к пределу S.

Предел называют определенным интегралом от функции на промежутке и обозначают , т.е.

(2)

.

Число a называется нижним пределом интеграла, b- верхним.

Промежуток называется промежутком интегрирования, x- переменной интегрирования.

Теорема 1. Если функция непрерывна на ,то интеграл существует.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми и осью x, вычисляется с помощью интеграла

.

Определение 1. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) при , то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [ a,b ] и обозначается следующим образом:

или

Основные свойства определённого интеграла

Пусть дан интеграл

1. Если , то (по определению).

2. Если , то по определению

3.

4.

5.

Формула Ньютона – Лейбница

(Основная формула интегрального исчисления)

Выведем формулу для вычисления определенного интеграла. Каждая из первообразных, например F(x), для функции y = f(x) отличается от первообразной Ф(х) = постоянным слагаемым

Ф(х) = F(x) + C.

Для нахождения значения С положим в последнем равенстве x = a.

Тогда

Ф(а) = или F (a) + C = 0, откуда C = - F(a).

Значит, Ф(х) = F(x) - F(a).

При x=b

Ф(b) =

Формула получила название формулы Ньютона – Лейбница.

Вычисление определенного интеграла

Вычисление определенного интеграла выполняется следующим образом, находим:

1) неопределенный интеграл ;

2) значение интеграла при , т. е. вычисляем ;

3) значение интеграла при , т. е. вычисляем ;

4) разность .

Процесс вычисления виден из формулы

. (6)

При вычислении определенного интеграла применяются следующие свойства определенного интеграла:

1) при перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный;

2) постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак определенного интеграла:

; (7)

3) определённой интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определённых интегралов этих функций:

(8)

Пример 1. Вычислить интеграл

Пример 2. Вычислить .

Пример 3. Вычислить

Пример 4. Вычислить определённый интеграл

Пример 5. Вычислить .

Пример 6. .

Пример 7.

Пример 8. .

Пример 9. Вычислить площадь, ограниченную графиком функции у = х ³, осью х и прямыми х = 1 и х = 3 (рис. 7)

в определённом интеграле