Определение 3.
Статистика называется несмещенной оценкой параметра , если для любого выполнено равенство
.
Статистика называется состоятельной оценкой параметра , если для любого имеет место сходимость
при .
Несмещенность — свойство оценок при фиксированном . Означает это свойство отсутствие ошибки «в среднем», т.е. при систематическом использовании данной оценки.
Свойство состоятельности означает, что последовательность оценок приближается к неизвестному параметру при увеличении количества данных. Понятно, что при отсутствии этого свойства оценка совершенно «несостоятельна» как оценка.
2.3. Методы нахождения оценок: метод моментов
Метод моментов заключается в следующем: любой момент случайной величины (например, -й) зависит, часто функционально, от параметра . Но тогда и параметр может оказаться функцией от теоретического -го момента. Подставив в эту функцию вместо неизвестного теоретического -го момента его выборочный аналог, получим вместо параметра оценку . Пусть , , — выборка объема из параметрического семейства распределений , где . Выберем некоторую функцию так, чтобы существовал момент
|
|
(1) |
и функция была обратима в области . Тогда в качестве оценки для возьмем решение уравнения
Или (что то же самое), сначала решаем уравнение (1) относительно , а затем вместо истинного момента берем выборочный:
Чаще всего в качестве функции берут . В этом случае
и, если функция обратима в области , то
Можно сказать, что мы берем в качестве оценки такое (случайное) значение параметра , при котором истинный момент совпадает с выборочным.