Распределение функции одного случайного аргумента

Функции одного случайного аргумента

Замечание. Закон распределения вероятностей будем называть распределением.

Определение 1. Если каждому возможному случайному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины У, то У называется функцией случайного аргумента Х: .

Если известно распределение случайной величины Х, то закон распределение У можно найти по следующим правилам.

Правило 1. Если Х – дискретная случайная величина, причём различным возможным значениям Х соответствуют различные возможные значения У, то вероятности соответствующих значений Х и У равны между собой.

Пример 1. . Найти распределение У, если дано распределение Х:

	0,6	0,4			0,6	0,4

Так как Х дискретная случайная величина, имеет различные возможные значения, то надо найти . Все возможные значения У получились различными, поэтому их вероятности остаются теми же, что и у соответствующих значений Х.

Правило 2. Если Х – дискретная случайная величина, причём различным возможным значениям Х соответствуют значения У, среди которых есть равные между собой, то следует складывать повторяющиеся значения У.

Пример 2. . Найти распределение У, если дано распределение Х:

	-2
	0,4	0,5	0,1			0,9	0,1

Так как Х дискретная случайная величина, имеет различные возможные значения, то надо найти . Так как получилось, что , то вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий и : . Вероятность значения равна 0,1.

Правило 3. Пусть Х – непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения , . Если дифференцируемая строго монотонная функция, обратная к которой , то плотность распределения случайной величины У можно найти по формуле .

Пример 3. Случайная величины Х распределенная нормально с математическим ожиданием, равным нулю. Найти распределение .

Следствие. Линейная функция нормально распределённой случайной величины Х с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением распределена нормально, причём , .