Решение

1+3=4	1+4=5	2+3=5	2+4=6
					0,08	0,44	0,48
	Сложить вероятности для одинаковых значений Z			Окончательное распределение

Правило 2. Пусть Х и У – непрерывные независимые случайные величины. Доказано, что закон (плотность) распределения функции при условии, что дифференциальная функция хотя бы одного из аргументов задана на интервале одной формулой, может быть найдена по одному из равенств:

или ,

где и – дифференциальные функции аргументов.

Замечание 1. Если возможные значения аргументов неотрицательны, то закон распределения функции находят по одной из формул:

или .

Замечание 2. Правила можно распространить на любое конечное число независимых случайных величин.

Пример 2. Плотности распределения вероятностей случайных величин Х и У равны Найти закон распределения функции .

Решение. По правилу 2 имеем:

Надо получить функцию и пределы её изменения. Так как при выполняется неравенство , а при – неравенство , то при и при . Пусть . Функция отлична от нуля только при тех значениях , которые удовлетворяют неравенствам или . Так как , то . Очевидно, что при . Следовательно, если , то . Аналогично, при . Тогда

закон распределения Симпсона.

Определение 2. Дифференциальную функцию суммы независимых случайных величин называют композицией.

Определение 3. Закон распределения вероятностей называется устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон распределения, возможно, что с другими параметрами.

Пример 3. Доказать, что сумма нормально распределённых случайных величин распределена по нормальному закону. Найти математическое ожидание и дисперсию полученного закона распределения.

Замечание 1. В силу примера 3 нормальный закон распределения обладает свойством устойчивости.

Замечание 2. Для независимых случайных величин справедливо и обратное утверждение (теорема Г. Крамера): если сумма двух независимых случайных величин распределена по нормальному закону, то каждое слагаемое также распределено по нормальному закону.

18.2. Законы распределения, являющиеся функциями нормально распределённых независимых случайных величин

18.2.1. Распределение

Пусть () – нормальные независимые случайные величины, причём математическое ожидание каждой равно нулю, а .

Определение 1. Случайная величина называется распределённой по закону с степенями свободы.

Определение 2. если указанные случайные величины связаны одним линейным соотношением, то – распределённой по закону с числом степеней свободы .

Дифференциальная функция распределения имеет вид:

, где – гамма-функция, .

Распределение определяется одним параметром – числом степенней свободы . С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

С распределением тесно связаны другие распределения:

Величина	Плотность распределения при




При - случайная величина, имеющая плотность распределения, равную удвоенной плотности исходного нормального распределения
При - распределение Максвелла

18.2.2. Распределение Стьюдента (псевдоним статистика В. Госсета)

Пусть Z – нормальная случайная величина, причём , , а V - независимая от Z случайная величина, распределённая по закону с степенями свободы. Тогда величина имеет распределение, которое называют -распределением, или распределением Стьюдента с степенями свободы. Плотность распределения задаётся формулой: . Значения плотности распределения содержатся в специальных таблицах (значения -распределения).

При малом числе степеней свободы -распределение далеко от нормального. Однако, с увеличением ()-распределение быстро приближается к нормальному распределению.

Доказательство: [5, C.143 – 146].

При –распределение Коши.

18.2.2. Распределение Фишера-Снедекора

Если U и Vнезависимые случайные величины, распределённые по закону со степенями свободы и , то величина имеет распределение, которое называют распределением Фишера-Снедекора со степенями свободы и (иногда его обозначают ). Дифференциальная функция распределения имеет вид: