Теорема. Линейная система является устойчивой по Ляпунову, если все характеристические числа динамики матрицы имеют отрицательные или нулевые вещественные части

Линейная система является устойчивой по Ляпунову, если все характеристические числа динамики матрицы имеют отрицательные или нулевые вещественные части, причем в последнем случае характеристические числа должны быть простые. При нарушении хотя бы одного из условий система не устойчива.

Линейная система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические числа матрицы имеют отрицательные вещественные части.

Примечание: если в характеристическом уравнении имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней , а все остальные корни имеют отрицательные вещественные части, то говорят, что система находится на границе устойчивости. В первом случае граница апериодической устойчивости, во втором – граница колебательной устойчивости.