2014-02-02
509
Можно показать, что необходимым и достаточным условием разрешимости проблемы размещения собственных чисел системы с регулятором путем выбора матрицы 
является не вырожденность пары матриц 
, что означает 
. Если условие управляемости не выполняется, то выбор матрицы не влияет на значение процессов 
и 
, и это означает, что система не может быть стабилизирована.
‚
– вектор состояния в новом базисе;
– вектор состояния в старом базисе;
, где
– матрица перехода от старого базиса к новому базису
Представим систему в новом базисе:
;
;
; – уравнение динамики в новом базисе
;
; – матрица динамики в новом базисе
;
. – матрица выхода в новом базисе
Пусть система является управляемой, опишем систему охваченной ОС в новом базисе:
;
;
;
При 
,
.
.
Матрица 
должна быть выбрана таким образом, чтобы матрица динамики в новом базисе 
была бы в форме Калмана, при этом матрица входа в новом базисе 
при 
была бы единичным вектором столбцом.
Матрица динамики в форме Калмана может быть записана:
, где
– коэффициенты характеристического уравнения 
.
.
в этом случае будет просто 
столбец, т.е. 
.
Не особая матрица со столбцами 
обеспечивающая представление матрицы динамики в форме Калмана строится рекуррентно по следующим формулам:
Рассмотрим систему с регулятором.
- корни уравнения
;
;
.
Какова связь между 
и 
?
;
Результат показывает, что матрица динамики системы с обратной связью тоже в форме Калмана, а следовательно в последней строке этой матрицы находятся коэффициенты нового характеристического уравнения 
, которые связаны со старыми следующим образом:
;
– коэффициенты характеристического уравнения матрицы динамики с обратной связью;
; 
;
Путем выбора значений 
можно получить желаемое значение коэффициентов характеристического уравнения матрицы динамики 
, что соответствует желаемым значениям коэффициентов характеристических чисел, отсюда:
.
