2014-02-02
566
Наблюдатель линейной системы
Пусть есть возможность точного измерения выходного сигнала 
в любой момент времени 
. При выполнении условия не вырожденности пары матриц 
по измерениям выходного сигнала 
можно восстановить состояние системы, используя идею обратной связи.
Устройство оценки вектора состояний по измерениям входных и выходных переменных объекта называется наблюдателем непрерывного типа 
-го порядка.
Наблюдатель описывается следующими линейными дифференциальными уравнениями:
;
На вход подается сигнал, равный разности измерения и прогнозного значения 
:
;
Рассогласование этих сигналов определяемое значениями матрицы наблюдателя 
и формирует сигнал ООС.
;
, где
.
Есть один объект и два наблюдателя.
;
; – дифференциальное уравнение относительно ошибки
– матрица динамики наблюдателя
Если собственные числа матрицы наблюдателя 
будут находиться в левой полуплоскости, то динамические свойства наблюдателя обеспечат асимптотическую устойчивость, при которой ошибка оценки 
.
Как определить матрицу 
и ее элементы, чтобы матрица наблюдателя была асимптотически устойчива?
;
;
;
и 
– собственные числа одни и те же
;
Регулятор Наблюдатель
Собственные числа: 
Собственные числа: 
Такое представление для выбора матрицы наблюдателя позволяет воспользоваться алгоритмом построения регулятора, произведя следующие замены в исходном алгоритме:
Вместо проверки управляемости по паре 
произвести проверку наблюдаемости по паре 
и если система наблюдаема, то осуществить переход к новому базису, в результате которого вместо определения матрицы 
осуществить вычисление элементов транспонированной матрицы 
.
Основные выводы:
Наблюдатель является реализуемым устройством в соответствии со структурой схемы, т.к. он состоит из интеграторов и усилителей, на входе наблюдателя сигнал обратной связи, пропорциональный разности между измеренным сигналом на выходе и прогнозируемым его значением.
- Оценка вектора состояния может быть получена при произвольных начальных условиях. Так как оценка
строится аналогично 
по тем же матрицам 
и внешнему воздействию 
, то наблюдатель -го порядка является моделью управляемого объекта.
Стабилизирующая обратная связь по наблюдениям выходного сигнала (при включении наблюдателя в обратную связь)
Объединение управляющей системы ее наблюдателя и контура отрицательной обратной связи представляет собой дуальную систему, т.е. имеет регулятор и наблюдатель.
;
– желаемое состояние (значение)
;
;
– ошибка управления
; 
;
Система управляемого объекта
;
;
Сделаем замену когда
;
;
;
Запишем их векторно-матричной форме
;
– уравнение динамики дуальной системы;
– матрица динамики системы с регулятором и наблюдателем.
Собственные числа равны собственным числам матриц динамики, расположенных на главной диагонали.
Матрица 
характеризует свойства системы с регулятором и наблюдателем, ее собственные числа совпадают с собственными числами матриц расположенных на диагонали, т.е. 
и 
. При выполнении условий не вырожденности пар матриц и и могут быть выбраны так, чтобы собственные числа матрицы дуальной системы имели отрицательные вещественные части и тем самым обеспечивали стабилизацию дуальной системы в целом.
В целом структурная схема замкнутой дуальной системы будет иметь вид:
;
.
