Теорема. Наблюдатель линейной системы

Наблюдатель линейной системы

Пусть есть возможность точного измерения выходного сигнала в любой момент времени . При выполнении условия не вырожденности пары матриц по измерениям выходного сигнала можно восстановить состояние системы, используя идею обратной связи.

Устройство оценки вектора состояний по измерениям входных и выходных переменных объекта называется наблюдателем непрерывного типа -го порядка.
Наблюдатель описывается следующими линейными дифференциальными уравнениями:

;

На вход подается сигнал, равный разности измерения и прогнозного значения :

;

Рассогласование этих сигналов определяемое значениями матрицы наблюдателя и формирует сигнал ООС.

;

, где

Есть один объект и два наблюдателя.

;

; – дифференциальное уравнение относительно ошибки

– матрица динамики наблюдателя

Если собственные числа матрицы наблюдателя будут находиться в левой полуплоскости, то динамические свойства наблюдателя обеспечат асимптотическую устойчивость, при которой ошибка оценки .

Как определить матрицу и ее элементы, чтобы матрица наблюдателя была асимптотически устойчива?

;

и – собственные числа одни и те же

;

Регулятор Наблюдатель

Собственные числа: Собственные числа:

Такое представление для выбора матрицы наблюдателя позволяет воспользоваться алгоритмом построения регулятора, произведя следующие замены в исходном алгоритме:

Вместо проверки управляемости по паре произвести проверку наблюдаемости по паре и если система наблюдаема, то осуществить переход к новому базису, в результате которого вместо определения матрицы осуществить вычисление элементов транспонированной матрицы .

Основные выводы:

Наблюдатель является реализуемым устройством в соответствии со структурой схемы, т.к. он состоит из интеграторов и усилителей, на входе наблюдателя сигнал обратной связи, пропорциональный разности между измеренным сигналом на выходе и прогнозируемым его значением.

Оценка вектора состояния может быть получена при произвольных начальных условиях. Так как оценка строится аналогично по тем же матрицам и внешнему воздействию , то наблюдатель -го порядка является моделью управляемого объекта.

Стабилизирующая обратная связь по наблюдениям выходного сигнала (при включении наблюдателя в обратную связь)

Объединение управляющей системы ее наблюдателя и контура отрицательной обратной связи представляет собой дуальную систему, т.е. имеет регулятор и наблюдатель.

;

– желаемое состояние (значение)

;

– ошибка управления

; ;

Система управляемого объекта

;

Сделаем замену когда

;

Запишем их векторно-матричной форме

;

– уравнение динамики дуальной системы;

– матрица динамики системы с регулятором и наблюдателем.

Собственные числа равны собственным числам матриц динамики, расположенных на главной диагонали.

Матрица характеризует свойства системы с регулятором и наблюдателем, ее собственные числа совпадают с собственными числами матриц расположенных на диагонали, т.е. и . При выполнении условий не вырожденности пар матриц и и могут быть выбраны так, чтобы собственные числа матрицы дуальной системы имели отрицательные вещественные части и тем самым обеспечивали стабилизацию дуальной системы в целом.